Самостоятельные работы по математике для 6 класса: дроби, числа, пропорции и уравнения

Задания авторские и рассчитаны на самостоятельную тренировку. Общие разделы соответствуют федеральной рабочей программе математики для 5–9 классов, но календарный порядок и обозначения может уточнять учитель. На один вариант достаточно примерно 15 минут без калькулятора. Проверять стоит не только последнее число: в вычислениях с отрицательными числами и дробями промежуточная строка часто показывает, какое правило было понято неверно.

Работа 1. Обыкновенные дроби

Вариант А. 1) Сократи 18/24. 2) Сравни 5/6 и 7/9. 3) Вычисли 2/3 + 1/6. 4) Вычисли 7/8 − 1/4. 5) Найди 3/5 от 50. 6) Верёвку длиной 12 м разделили: на первую часть ушла 1/3 всей длины, на вторую — 1/4 всей длины. Сколько метров осталось? 7) Представь 11/4 смешанным числом.

Вариант Б. 1) Сократи 21/35. 2) Сравни 3/4 и 5/8. 3) Вычисли 3/5 + 1/10. 4) Вычисли 5/6 − 1/3. 5) Найди 2/7 от 56. 6) Из 18 м ткани на первый заказ потратили 1/3 всей ткани, на второй — 1/6 всей ткани. Сколько метров осталось? 7) Представь 13/5 смешанным числом.

Прежде чем складывать или вычитать дроби, приведите их к общему знаменателю. Например, 2/3 — это 4/6, поэтому 2/3 + 1/6 = 5/6. В текстовых задачах слова «всей длины» и «всей ткани» обозначают исходное целое. Вторая дробь не берётся от остатка. Для самопроверки оцените ответ: сумма двух частей верёвки меньше 12 м, а оставшаяся длина должна быть положительной.

Работа 2. Положительные и отрицательные числа

Вариант А. 1) Отметь на числовой прямой −4, 0 и 3. 2) Сравни −7 и −2; −1 и 0. 3) Вычисли −6 + 9. 4) Вычисли 4 − 11. 5) Вычисли −3 − 5. 6) Утром температура была −4 °C, днём повысилась на 7 °C. Какой стала температура? 7) Найди расстояние на числовой прямой между −2 и 5.

Вариант Б. 1) Отметь −5, 0 и 2. 2) Сравни −8 и −3; 0 и −6. 3) Вычисли −9 + 13. 4) Вычисли 6 − 10. 5) Вычисли −2 − 7. 6) Утром было −6 °C, днём потеплело на 9 °C. Какой стала температура? 7) Найди расстояние между −4 и 3.

На числовой прямой меньше то число, которое левее. Поэтому −7 меньше −2, хотя цифра 7 больше 2: отрицательные числа расположены по другую сторону нуля. Для −6 + 9 можно пройти шесть единиц от −6 до нуля и ещё три вправо; ответ 3. Расстояние всегда неотрицательно: между −2 и 5 семь единичных отрезков. В задачах про температуру важно не пропускать знак «−» в записи начального значения.

Работа 3. Отношения и пропорции

Вариант А. 1) Найди отношение 12 к 18 и сократи его. 2) Проверь равенство 3/4 = 9/12 умножением крест-накрест. 3) Реши пропорцию x/5 = 12/15. 4) Четыре одинаковые тетради стоят 120 рублей. Сколько стоят семь таких тетрадей? 5) Масштаб плана 1 : 1000. Какому расстоянию на местности соответствуют 3 см на плане? Ответ дай в метрах. 6) Объясни, почему цена семи тетрадей находится умножением цены одной на семь.

Вариант Б. 1) Найди отношение 15 к 25 и сократи его. 2) Проверь 2/3 = 8/12 умножением крест-накрест. 3) Реши y/7 = 6/14. 4) Пять одинаковых блокнотов стоят 175 рублей. Сколько стоят восемь таких блокнотов? 5) Масштаб плана 1 : 2000. Скольким метрам на местности соответствуют 2 см на плане? 6) Что должно оставаться неизменным в задаче о блокнотах, чтобы расчёт по цене одной штуки был верным?

Пропорция связывает два равных отношения. Проверка крест-накрест работает для дробной записи с ненулевыми знаменателями: 3 × 12 = 4 × 9. В задачах о покупке сначала находят цену одного предмета, затем умножают на новое количество. Этот способ верен при неизменной цене за штуку; если есть скидка за большой заказ, условие потребует другой модели. В масштабе 1 : 1000 один сантиметр плана соответствует тысяче сантиметров на местности, то есть 10 м.

Работа 4. Уравнения

Вариант А. 1) Реши x + 7 = −2. 2) Реши 3y = 27. 3) Реши z/4 = 6. 4) Реши 2a − 5 = 13. 5) Реши 5(b + 2) = 35. 6) Из некоторого числа вычли 8 и получили −3. Составь уравнение и найди число. 7) Проверь любое одно решение подстановкой в исходное равенство.

Вариант Б. 1) Реши x − 9 = −4. 2) Реши 4y = 36. 3) Реши z/5 = 7. 4) Реши 3a + 4 = 19. 5) Реши 4(b − 1) = 28. 6) К некоторому числу прибавили 6 и получили −1. Составь уравнение и найди число. 7) Проверь любое одно решение подстановкой.

В уравнении важно сохранить равенство: действие, выполненное с одной частью, выполняют и с другой. Например, 2a − 5 = 13; прибавляем 5 к обеим частям и получаем 2a = 18, затем a = 9. В записи для задачи сначала обозначьте неизвестное буквой, затем перенесите слова условия в действия: «из числа вычли 8» — это x − 8, а не 8 − x. Подстановка найденного числа — обязательная короткая проверка.

Ответы к работе 1

Вариант А: 1) 18/24 = 3/4; 2) 5/6 > 7/9, поскольку 15/18 > 14/18; 3) 5/6; 4) 5/8; 5) 50 : 5 × 3 = 30; 6) 12 : 3 = 4 м и 12 : 4 = 3 м, осталось 12 − 4 − 3 = 5 м; 7) 2 целых 3/4.

Вариант Б: 1) 21/35 = 3/5; 2) 3/4 > 5/8, поскольку 6/8 > 5/8; 3) 7/10; 4) 1/2; 5) 56 : 7 × 2 = 16; 6) 18 : 3 = 6 м и 18 : 6 = 3 м, осталось 18 − 6 − 3 = 9 м; 7) 2 целых 3/5.

Ответы к работе 2

Вариант А: на прямой слева направо −4, 0, 3; −7 < −2 и −1 < 0; −6 + 9 = 3; 4 − 11 = −7; −3 − 5 = −8; −4 + 7 = 3 °C; расстояние 7.

Вариант Б: слева направо −5, 0, 2; −8 < −3 и 0 > −6; −9 + 13 = 4; 6 − 10 = −4; −2 − 7 = −9; −6 + 9 = 3 °C; расстояние 7.

Ответы к работе 3

Вариант А: 12 : 18 = 2 : 3; 3 × 12 = 4 × 9 = 36, равенство верно; x = 5 × 12 : 15 = 4; одна тетрадь стоит 30 рублей, семь — 210 рублей; 3 см на плане — 3000 см на местности, то есть 30 м; количество тетрадей меняется, цена одной остаётся прежней.

Вариант Б: 15 : 25 = 3 : 5; 2 × 12 = 3 × 8 = 24, равенство верно; y = 7 × 6 : 14 = 3; один блокнот стоит 35 рублей, восемь — 280 рублей; 2 см на плане — 4000 см на местности, то есть 40 м; цена одного блокнота должна оставаться одинаковой.

Ответы к работе 4

Вариант А: x = −9, потому что −9 + 7 = −2; y = 9; z = 24; a = 9; b = 5; для задачи x − 8 = −3, откуда x = 5. Проверка последнего: 5 − 8 = −3.

Вариант Б: x = 5, потому что 5 − 9 = −4; y = 9; z = 35; a = 5; b = 8; для задачи x + 6 = −1, откуда x = −7. Проверка: −7 + 6 = −1.

Какие ошибки требуют отдельной тренировки

Если ученик складывает 2/3 и 1/6 как 3/9, вернитесь к рисунку с шестью равными частями: разные знаменатели нельзя сложить как количество предметов. Если путаются −7 и −2, начертите числовую прямую, отметьте оба числа и спросите, какое левее. Если в масштабе после умножения получены «3000 метров», найдите пропущенный перевод: 3000 сантиметров — это 30 метров. Если ответ уравнения не проходит подстановку, ошибка часто возникает при смене знака или делении обеих частей.

Для повторной проверки выберите другой вариант той же работы, а не всю страницу подряд. Попросите ученика объяснить, какое правило он применил и почему оно подходит. Короткое объяснение с верным новым примером показывает понимание лучше, чем переписанный ключ.