Площадь и объём прямоугольного параллелепипеда: задачи с рисунками

Как выглядит прямоугольный параллелепипед

Представьте закрытую коробку с прямоугольными гранями. У неё три разных направления измерения: вдоль, поперёк и вверх. Их удобно называть длиной a, шириной b и высотой c. Название стороны не влияет на объём: если повернуть коробку, количество места внутри не изменится. Но в задаче про дно или боковую стенку важно сохранить подписи именно тех сторон, которые образуют нужную грань.

             +--------------+
            /|             /|
           / |            / |
          +--------------+  |
          |  |           |  |  c — высота
          |  +-----------|--+
          | /            | /
          |/             |/
          +--------------+
              a — длина
          b — ширина идёт в глубину рисунка

Схема передаёт расположение рёбер, но не их настоящий масштаб. Длина на бумаге может выглядеть короче ширины, хотя по условию она больше. Для вычислений берут числа из подписи, а не измеряют нарисованные линии линейкой. Если измерений всего два, проверьте, не сказано ли, что одна из граней квадратная или что высота равна ширине. Без третьего измерения объём обычно не определить.

У параллелепипеда шесть граней. Противоположные грани одинаковы: две размером a на b, две размером a на c и две размером b на c. Это наблюдение сразу объясняет формулу площади всей поверхности. Запомнить её легче после рисунка, чем как отдельную строку без смысла.

Чем площадь отличается от объёма

Площадь отвечает на вопрос, сколько плоского места занимает грань или вся наружная поверхность. Если на дно ящика кладут бумагу, нужна площадь дна. Если коробку обклеивают со всех сторон, нужна площадь полной поверхности. Объём показывает, сколько места занимает тело в пространстве; он нужен, например, при расчёте вместимости прямоугольной коробки без учёта толщины её стенок.

Единицы помогают не перепутать величины. Площадь выражают в квадратных сантиметрах, дециметрах или метрах: см², дм², м². Объём — в кубических: см³, дм³, м³. Если вы умножили три длины в сантиметрах, но написали см², ошибка видна ещё до проверки числа. Если умножили только две длины, см³ в ответе тоже появиться не может.

Для фигуры с размерами 8 см, 5 см и 3 см площадь дна равна 8 · 5 = 40 см². Объём равен 8 · 5 · 3 = 120 см³. Эти числа нельзя сравнивать словами «площадь меньше объёма»: они измеряют разные вещи, как масса и длина. В задаче следует ответить именно на тот вопрос, который поставлен.

Как вычислить объём по трём измерениям

Объём можно понять через слои одинаковых кубиков. Если длина основания 4 см, а ширина 3 см, на дне помещается 4 · 3 = 12 единичных квадратов. Если высота равна 2 см, друг над другом уложатся два слоя кубиков с ребром 1 см. Всего получится 12 · 2 = 24 кубика, то есть 24 см³. Отсюда V = a · b · c.

Решим задачу про коробку: длина 12 см, ширина 5 см, высота 4 см. Сначала находим площадь основания: 12 · 5 = 60 см². Затем умножаем её на высоту: 60 · 4 = 240 см³. Можно сразу записать 12 · 5 · 4 = 240 см³. Два шага полезны тем, что каждый имеет смысл: мы узнали число единичных квадратов в слое и число таких слоёв.

Если все три измерения увеличить в два раза, объём увеличится в 2 · 2 · 2 = 8 раз. Например, размеры 2, 3 и 4 см дают 24 см³, а размеры 4, 6 и 8 см — 192 см³. Частая ошибка — ожидать увеличения объёма только вдвое. Рисунок с восемью маленькими коробками внутри большой помогает увидеть, почему это не так.

Как найти площадь основания, грани и всей поверхности

В формулировке «найдите площадь параллелепипеда» не хватает точности. Спросите, имеется ли в виду площадь поверхности. Если говорится о покраске наружной части закрытой коробки, нужно сложить площади шести граней. Если о бумаге на дно — лишь одной грани. Если крышки нет, верхнюю грань учитывать нельзя. Одно и то же тело даёт разные ответы на эти вопросы.

Развёртка закрытой коробки: каждая буква обозначает грань.

               [ a × b ]
    [ a × c ] [ b × c ] [ a × c ] [ b × c ]
               [ a × b ]

Пары одинаковых прямоугольников дают
S = 2ab + 2ac + 2bc.

Эта развёртка схематична: размеры блоков в тексте не соответствуют реальным сторонам. Соседство граней здесь нужно для подсчёта пар, а не для изготовления модели. Для настоящей развёртки начертите прямоугольники по заданным размерам на бумаге и проверьте, какие рёбра должны совпасть при сгибании.

Возьмём коробку 8 × 5 × 3 см. Две грани имеют площадь 8 · 5 = 40 см² каждая; ещё две — 8 · 3 = 24 см²; оставшиеся две — 5 · 3 = 15 см². Полная площадь поверхности равна 2 · (40 + 24 + 15) = 158 см². Для коробки без крышки вычитаем площадь верхней грани 40 см² и получаем 118 см². Если требуется покрасить только боковые стенки, складываем четыре боковые грани: 2 · 24 + 2 · 15 = 78 см².

Удобно подписывать на рисунке не только рёбра, но и то, что открыто, закрыто или покрывается материалом. Например, у аквариума обычно нет верхней стенки; если считают площадь стекла для стенок и дна, верх не включают. Реальная толщина стекла, швы и отходы при раскрое могут потребовать отдельного расчёта, но в обычной школьной задаче их не учитывают, если условие об этом молчит.

Что делать, если даны разные единицы

Переводите измерения в одну единицу до умножения. У коробки длина 4 дм, ширина 30 см, высота 20 см. В сантиметрах это 40, 30 и 20 см. Объём равен 40 · 30 · 20 = 24 000 см³. Можно перевести всё в дециметры: 4 дм, 3 дм, 2 дм; тогда V = 4 · 3 · 2 = 24 дм³. Ответы равны, поскольку 1 дм³ = 1000 см³.

Почему кубический дециметр содержит тысячу кубических сантиметров? У куба с ребром 1 дм каждое ребро равно 10 см. Значит, внутри 10 слоёв по 10 · 10 маленьких кубиков: 10 · 10 · 10 = 1000. Для площадей перевод другой: 1 дм² = 100 см², потому что множителей только два. Нельзя автоматически приписывать три нуля к площади или два нуля к объёму.

Если вместимость просят указать в литрах, полезно знать равенство 1 л = 1 дм³. Но оно описывает объём, а не массу воды и не площадь стекла. В условии про аквариум объём воды может отличаться от геометрического объёма сосуда, когда его наливают не до краёв. Тогда высотой для расчёта будет фактическая высота слоя воды.

Задача с рисунком: найти неизвестную высоту

Неизвестное ребро можно восстановить по объёму, если два других известны. Пусть объём прямоугольной коробки 180 см³, а основание имеет длину 9 см и ширину 5 см. Площадь основания равна 9 · 5 = 45 см². Поскольку 45 · c = 180, высота c = 180 : 45 = 4 см. Проверка: 9 · 5 · 4 = 180 см³.

       основание 9 см × 5 см
       +-------------------+
      /                   /|
     +-------------------+ |  ? см
     |                   | |
     +-------------------+/
       объём 180 см³

Слово «высота» в этой задаче обозначает ребро, перпендикулярное выбранному основанию. Если поставить коробку на другую грань, расчёт можно начать с другой пары сторон, но неизвестным станет иное ребро. Поэтому прежде, чем делить объём, отметьте на рисунке две стороны именно того основания, площадь которого вы нашли.

Обратная задача полезна для проверки формулы. Например, если объём 144 дм³, длина 6 дм, а высота 4 дм, ширина равна 144 : (6 · 4) = 6 дм. Получился параллелепипед с квадратной гранью 6 на 6 дм; это допустимо. Не надо считать, что у параллелепипеда непременно три различных измерения.

Задачи для самостоятельной работы

Решайте задачи по очереди, каждый раз записывая рисунок с тремя измерениями и единицу ответа. Сначала определите, спрашивают площадь одной грани, всех граней или объём. Ответы размещены после условий: попробуйте не смотреть на них до вычисления.

1. Коробка имеет длину 7 см, ширину 4 см и высоту 3 см. Найдите объём и площадь дна.
2. Закрытый параллелепипед имеет размеры 10 × 6 × 2 см. Сколько квадратных сантиметров бумаги потребуется, чтобы покрыть всю поверхность без припусков?
3. У коробки из предыдущего задания сняли крышку размером 10 × 6 см. Какова площадь оставшейся поверхности?
4. Объём ящика 360 дм³, длина 10 дм, ширина 6 дм. Найдите высоту.
5. Длина аквариума 50 см, ширина 30 см, вода налита на высоту 20 см. Каков объём воды в литрах, если не учитывать помещённые в воду предметы?
6. У двух коробок одинаковое основание 5 × 4 см. Высота первой 3 см, второй 6 см. Сравните объёмы и площади их оснований.
7. У модели длина 2 дм, ширина 15 см, высота 10 см. Найдите объём в кубических сантиметрах и кубических дециметрах.
8. Придумайте коробку с объёмом 60 см³ и целыми измерениями в сантиметрах. Запишите два разных набора трёх размеров и проверьте каждый.

Ответы к первым четырём задачам: 1) V = 7 · 4 · 3 = 84 см³, дно 7 · 4 = 28 см²; 2) S = 2 · (10 · 6 + 10 · 2 + 6 · 2) = 184 см²; 3) 184 − 60 = 124 см²; 4) 360 : (10 · 6) = 6 дм. В третьей задаче вычитают именно площадь крышки, а не одну из боковых стенок.

Ответы к следующим задачам: 5) 50 · 30 · 20 = 30 000 см³ = 30 дм³ = 30 л; 6) объёмы 60 и 120 см³, второй вдвое больше, а площади оснований обе равны 20 см²; 7) 20 · 15 · 10 = 3000 см³ = 3 дм³; 8) подойдут, например, размеры 3 × 4 × 5 см и 2 × 5 × 6 см. Для последнего задания есть и другие верные ответы, если произведение трёх размеров равно 60.

Как проверить решение перед сдачей

Хорошая проверка начинается не с повторения умножения, а с вопроса: «Какую величину я искал?» Если нужно покрыть коробку бумагой, ответ в кубических сантиметрах не подходит даже при верной арифметике. Если нужно узнать вместимость, квадратные сантиметры не отвечают на вопрос. После этого проверьте, все ли рёбра были приведены к одной единице и все ли нужные грани включены.

• На рисунке подписаны длина, ширина и высота, а не только три числа без пояснений.
• Для площади отмечены нужные грани: дно, боковые стенки, крышка или вся поверхность.
• Для объёма перемножены три измерения либо площадь основания и высота.
• Размеры выражены в одной единице до вычисления; ответ записан в квадратных или кубических единицах.
• Если дана коробка без крышки, верхняя грань не прибавлена; если нужно найти неизвестное ребро, объём разделён на площадь соответствующего основания.

В задачи про прямоугольный параллелепипед часто подставляют знакомые предметы, чтобы скрыть простой вопрос о грани или объёме. Схема с подписями помогает перевести слова «обклеить», «налить», «заполнить» и «найти высоту» в конкретное действие. После решения вернитесь к предмету: число должно описывать именно его дно, поверхность или внутренний объём.