Масштаб в задачах по математике 6 класса: расстояние на карте и в действительности

Что означает запись 1:n

Численный масштаб — отношение длины на изображении к соответствующей длине в действительности. Запись 1:50 000 говорит: одной выбранной единице на карте отвечают 50 000 таких же единиц на местности. Если измеряем сантиметрами, 1 см соответствует 50 000 см, то есть 500 м. Если измеряем миллиметрами, 1 мм соответствует 50 000 мм — те же 50 м. Итог не противоречит первому варианту: миллиметр в десять раз короче сантиметра.

Число после двоеточия не является расстоянием в километрах само по себе. Фраза «масштаб 1:100 000 — это 100 000 километров» неверна. Сначала сохраните единицу, а потом переводите её. Именно пропуск этого шага приводит к ответам, отличающимся в сотни или тысячи раз.

Масштаб связывает две длины, поэтому он основан на отношении. Если хочется повторить, как составляются и сокращаются отношения, используйте разбор отношений и пропорций. Здесь мы сосредоточимся на измерении карт, планов и чертежей.

Перевод единиц перед вычислением

Для численного масштаба удобно помнить три равенства: 1 м = 100 см; 1 км = 1000 м; 1 км = 100 000 см. Последнее получается умножением 1000 на 100. Если действительная длина дана в километрах, а карта измерена линейкой в сантиметрах, без этого перевода вычисление нельзя завершить.

Например, 2 км = 200 000 см. При масштабе 1:100 000 это 2 см на карте. А 600 м = 60 000 см; при масштабе 1:20 000 это 3 см. В обоих примерах деление выполнено после того, как единицы стали одинаковыми.

Для быстрой устной проверки заранее узнайте, чему соответствует 1 см. При масштабе 1:25 000 это 25 000 см = 250 м; при 1:500 000 — 500 000 см = 5 км. Тогда задача превращается в умножение или деление на понятную величину: 4 см на первой карте — 1 км, на второй — 20 км.

Как найти действительное расстояние по карте

Пусть на карте отрезок между двумя точками равен 4,5 см, а масштаб 1:200 000. Один сантиметр соответствует 200 000 см = 2 км. Значит, 4,5 см соответствуют 4,5 × 2 = 9 км. Можно выполнить всё в сантиметрах: 4,5 × 200 000 = 900 000 см = 9 км. Оба пути должны дать одинаковый результат.

Запишите в решении, что именно измеряли. Прямая между двумя пунктами и путь по извилистой дороге — не одно и то же. Если вопрос просит расстояние «по прямой», соедините точки отрезком. Если нужен путь по дороге, измеряйте линию дороги по участкам, если масштаб и задание это позволяют. Линейка, положенная между началом и концом серпантина, даст только прямое расстояние.

После умножения проверьте порядок величины. При масштабе 1:200 000 один сантиметр равен 2 км; поэтому 4,5 см не могут соответствовать 900 км. Такая оценка помогает заметить лишний нуль ещё до подробной проверки арифметики.

Как найти длину отрезка на карте

Пусть расстояние между двумя пунктами по прямой равно 12 км, масштаб карты 1:300 000. Один сантиметр на карте соответствует 3 км, поэтому нужно отложить 12 : 3 = 4 см. Полная запись с переводом даёт то же: 12 км = 1 200 000 см; 1 200 000 : 300 000 = 4 см.

При поиске длины на карте мы делим действительную длину на число после двоеточия. Это разумно: изображение уменьшено. Если вместо 4 см получается несколько миллионов сантиметров, действие выбрано неверно. Однако не стоит запоминать только фразу «по карте умножить, на карте разделить» — пояснение через один сантиметр надёжнее.

Если ответом стала десятичная дробь сантиметра, переведите её в удобную меру для построения. Например, 0,6 см = 6 мм. На школьном чертеже такой отрезок можно отложить линейкой. Не округляйте 0,6 см до 1 см: при крупном масштабе ошибка заметно изменит действительное расстояние.

Как найти масштаб по двум расстояниям

Иногда масштаб не дан. На плане 5 см соответствуют 250 м на местности. Сначала переведите 250 м в 25 000 см. Отношение длин 5:25 000 сокращается делением на 5 и даёт 1:5000. Значит, один сантиметр на плане отвечает 5000 см, или 50 м.

Проверка обязательна: 5 см × 5000 = 25 000 см = 250 м. Если при сокращении получилось 1:50 000, обратная проверка покажет 2500 м вместо 250. Так можно обнаружить лишний нуль без догадки, где именно он возник.

Встречается и другой способ: сначала узнать, сколько метров приходится на 1 см. Из 250 м : 5 = 50 м, затем 50 м = 5000 см, значит, масштаб 1:5000. Оба решения описывают одно отношение. Выбирайте то, в котором вам проще контролировать единицы.

Численный, именованный и линейный масштаб

Численный масштаб записывают как 1:100 000. Именованный выражают словами: «в 1 см — 1 км». Линейный изображают отрезком с подписанными делениями. Все три формы помогают ответить на один вопрос: сколько действительной длины соответствует измерению на карте.

Именованный масштаб особенно удобен для устного счёта. Но его надо переводить внимательно: «в 1 см — 2 км» соответствует 1:200 000, а не 1:2000, потому что 2 км = 200 000 см. Численный масштаб легче использовать в общем правиле умножения и деления, а линейный — при практическом измерении прямо на карте.

Если изображение было увеличено или уменьшено при печати без сохранения линейной шкалы, старый численный масштаб может перестать соответствовать размеру на листе. В обычной учебной задаче предполагается, что карта напечатана как задумано. Но при работе со снимком экрана лучше пользоваться показанной линейной шкалой или данными задания, а не измерять пиксели линейкой на мониторе.

Какая карта крупнее по масштабу

Сравним 1:50 000 и 1:500 000. В первом случае сантиметр означает 500 м, во втором — 5 км. На первом изображении один и тот же участок местности займёт больше места и обычно позволит показать больше деталей. Поэтому масштаб 1:50 000 называют более крупным, хотя число 50 000 меньше 500 000.

Формулировка «чем больше знаменатель, тем крупнее масштаб» ошибочна. Дробь 1/50 000 больше дроби 1/500 000. Если не хочется сравнивать дроби, представьте одну и ту же дорогу длиной 5 км: при 1:50 000 она займёт 10 см, при 1:500 000 — 1 см. Более длинное изображение одной местности соответствует более крупному масштабу.

Большой масштаб не гарантирует, что любая карта подробнее по содержанию: оформление и назначение карт различаются. Но при равных условиях он предоставляет больше места для деталей. В школьном сравнении масштабов решающим остаётся отношение длин.

Пошаговый разбор трёх типов задач

Постройте решение вокруг вопроса: что известно, что нужно найти и чему соответствует 1 см? Такая последовательность помогает не спутать прямую и обратную задачи. Таблица ниже показывает три типичных случая, но в тетради каждый ответ стоит сопровождать словами и единицами.

В последней строке масштаб найден сокращением отношения. Проверьте его в обратную сторону: 4 × 25 000 = 100 000 см = 1 км. Эта проверка полезна особенно тогда, когда действительное расстояние дано в метрах или километрах, а на плане — в сантиметрах.

Задания для самостоятельной работы

Сначала решите на бумаге, отмечая единицы у каждого числа. В заданиях 1–3 найдите расстояние, в заданиях 4–5 — масштаб, в задании 6 сравните карты. После каждого результата оцените, разумна ли длина на карте: десятки километров не должны превращаться в километры на бумаге.

1. На карте масштаба 1:100 000 отрезок равен 6 см. Каково расстояние по прямой на местности?
2. Масштаб 1:250 000, расстояние на карте 3,2 см. Сколько это километров?
3. Два пункта разделяют 15 км по прямой. Какой отрезок нужен на карте 1:500 000?
4. На плане 8 см соответствуют 400 м. Найдите численный масштаб.
5. На чертеже 3 см соответствуют 12 м. Найдите численный масштаб.
6. Один и тот же участок показан на картах 1:20 000 и 1:200 000. На какой он займёт больше места и во сколько раз?
7. При масштабе 1:50 000 ученик измерил между концами извилистой дороги 2 см по прямой. Можно ли по этому измерению узнать длину всей дороги?

Ответы: 1) 6 км; 2) 1 см — 2,5 км, значит, 3,2 см — 8 км; 3) 1 см — 5 км, поэтому 3 см; 4) 400 м = 40 000 см, 8:40 000 = 1:5000; 5) 12 м = 1200 см, 3:1200 = 1:400; 6) при 1:20 000, длина изображения того же участка в десять раз больше; 7) нет, найдено только расстояние между концами по прямой, нужно измерить линию дороги.

В шестом задании сравнивается именно длина изображения одного и того же отрезка местности. Площадь его изображения изменилась бы в сто раз, если обе линейные величины увеличились в десять раз. Не смешивайте эти два вопроса. Для ответа «на какой карте участок займёт больше места» достаточно указать более крупный масштаб и пояснить сравнение длин.

Ошибки, которые стоит искать в собственном решении

Самая частая ошибка — считать, что 1:100 000 означает «в 1 см — 100 000 м». На самом деле единицы по обе стороны отношения одинаковы: 100 000 см = 1 км. Вторая ошибка — умножать, когда нужно найти длину на карте. В таком случае изображение получается больше самой местности, и проверка смысла сразу обнаруживает проблему.

Третья ошибка — не уточнять, что измерено по прямой. Масштаб переводит длину выбранной линии, но не превращает прямой отрезок в извилистый маршрут. Четвёртая — округлять слишком рано: если на карте измерено 3,2 см, замена на 3 см может заметно исказить ответ. Пятая — считать карту с большим числом после двоеточия «крупнее» без проверки на одной и той же дороге.

• Я сохранил одинаковые единицы в отношении масштаба.
• Я понимаю, сколько километров или метров соответствует 1 см.
• Для действительного расстояния увеличил измеренную длину, а для длины на карте уменьшил её.
• Я указал, измерял ли расстояние по прямой или вдоль маршрута.
• Ответ проверен обратным действием и оценкой порядка величины.

Масштаб становится понятнее, когда воспринимается как короткая договорённость об уменьшении. Число 1:100 000 само по себе не «решает» задачу; оно сообщает, сколько одинаковых единиц на местности соответствует одной единице на карте. Остальное — внимательное чтение вопроса и перевод мер.