Линейное уравнение с одной переменной: задачи и проверка корня

Что называется корнем уравнения

Корень — значение переменной, при котором левая и правая части уравнения равны. Запись x = 5 сама по себе ещё не доказывает, что найден ответ: нужно проверить число в первоначальной записи. Для 3x + 7 = 22 подстановка даёт слева 3 · 5 + 7 = 22, справа тоже 22. Значит, 5 действительно корень.

Линейное уравнение после упрощения обычно приводят к виду ax = b, где a и b — числа. Если a не равно нулю, корень x = b/a. Но бывают два особых случая: 0x = 0 и 0x = b при ненулевом b. Первый верен при любом x, второй не верен ни при каком. Это не «странные исключения», а результат обычных преобразований, который надо прочитать правильно.

Не путайте уравнение с выражением. В записи 3x + 7 нет знака равенства и нечего решать без дополнительного условия. В задаче сначала нужно составить равенство, а уже потом найти неизвестное. Поэтому важно понимать, что обозначает x и почему две части можно приравнять.

Почему можно выполнять одинаковые действия с обеими частями

Равенство сохраняется, если прибавить к обеим частям одно и то же число или выражение. Из 3x + 7 = 22 вычтем 7 одновременно слева и справа: 3x = 15. Затем разделим обе части на 3: x = 5. Делитель должен быть ненулевым, иначе шаг не имеет смысла.

Школьное правило «перенести слагаемое через знак равенства, поменяв знак» — короткая запись такого действия. Когда 7 «переходит» вправо и становится −7, на деле мы вычитаем 7 из обеих частей. Если помнить причину, меньше ошибок в уравнениях со скобками и отрицательными числами.

Сначала полезно писать полные действия в строке черновика. Например: 5x − 4 = 16; прибавляем 4 к обеим частям и получаем 5x = 20; делим на 5 и получаем x = 4. Когда способ станет понятен, промежуточную строку можно сокращать, но не за счёт потери знаков.

Простой порядок решения

Если в уравнении есть скобки, сначала раскройте их. Если есть дроби с числовыми знаменателями, удобно умножить обе части на общий ненулевой знаменатель. Затем приведите подобные слагаемые отдельно слева и справа. После этого соберите все члены с x в одной части, числа — в другой, и выполните деление на коэффициент при x, если он не равен нулю.

Порядок не единственный: иногда удобнее сразу прибавить одно выражение к обеим частям, а уже потом раскрывать скобки. Главное, чтобы каждый шаг сохранял равенство и был понятен. Не перепрыгивайте от длинного уравнения к ответу без промежуточных строк, если ещё путаетесь в знаках.

После нахождения x вернитесь к исходному условию, а не к последней упрощённой строке. Если ошибка была при раскрытии скобок, проверка только в упрощённой записи её не обнаружит. Проверка исходного равенства показывает, подходит ли найденное число к задаче.

Разбор уравнения со скобками

Решим 4(x − 2) = 2x + 10. Сначала раскроем скобки: 4x − 8 = 2x + 10. Вычтем 2x из обеих частей: 2x − 8 = 10. Прибавим 8: 2x = 18. Делим на 2 и получаем x = 9.

Теперь проверим число в первоначальной записи. Левая часть: 4(9 − 2) = 4 · 7 = 28. Правая часть: 2 · 9 + 10 = 18 + 10 = 28. Части совпали. Такая проверка занимает меньше времени, чем поиск ошибки в работе, где одна скобка была раскрыта неверно.

Самая частая ошибка — умножить 4 только на x и забыть число −2. Из 4(x − 2) нельзя получить 4x − 2: верно 4x − 8. Поставьте стрелки от множителя ко всем членам в скобках или проговорите: «Четыре умножить на x и четыре умножить на минус два».

Уравнение с дробью и десятичным коэффициентом

Для (x − 2)/3 + 1 = 4 сначала вычтем 1: (x − 2)/3 = 3. Умножим обе части на 3: x − 2 = 9. Тогда x = 11. Подстановка: (11 − 2)/3 + 1 = 9/3 + 1 = 4. Здесь знаменатель равен числу 3, поэтому умножение на него допустимо.

Если перед x стоит десятичная дробь, действуйте так же. В уравнении 0,5x + 1 = 3 вычтем 1 и получим 0,5x = 2. Деление на 0,5 даёт x = 4. Проверка: 0,5 · 4 + 1 = 3. Можно представить 0,5 как 1/2, если так удобнее считать.

Не нужно превращать любую дробь в десятичную: иногда это только усложнит вычисления. Смотрите на числа. Если общий знаменатель простой, умножение обеих частей на него часто быстрее. Но при переменной в знаменателе появляются дополнительные ограничения; такие уравнения нельзя решать механически тем же способом без проверки области допустимых значений.

Что делать, если x исчез

Рассмотрим 2x + 4 = 2(x + 2). После раскрытия скобок справа получаем 2x + 4 = 2x + 4. Если вычесть одинаковые части, останется 0 = 0. Это верно при любом x. Уравнение имеет бесконечно много корней: подстановка любого числа сохраняет равенство.

Теперь другое уравнение: 3(x + 1) = 3x + 4. После раскрытия скобок имеем 3x + 3 = 3x + 4, затем 3 = 4. Это неверно. Значит, корней нет. Нельзя ответить x = 0 только потому, что переменная исчезла: подстановка нуля тоже даст 3 = 4.

Общий способ чтения такой: если после корректных преобразований получилось верное числовое равенство, подходят все значения переменной из исходной задачи; если неверное — не подходит ни одно. Не делите на коэффициент при x, когда этот коэффициент стал нулём. Именно здесь многие получают бессмысленную операцию деления на ноль.

Как составить уравнение из текстовой задачи

Обозначьте неизвестное словами. Например: «Одна тетрадь стоит x рублей». Если купили две одинаковые тетради и папку за 30 рублей, а всего заплатили 150 рублей, стоимость покупки записывается как 2x + 30. Тогда уравнение 2x + 30 = 150. Вычитаем 30: 2x = 120, значит, x = 60. Ответ относится к одной тетради, а не ко всей покупке.

Проверка по смыслу: две тетради по 60 рублей стоят 120 рублей; вместе с папкой за 30 рублей получается 150. Здесь мы проверили не только вычисление, но и то, правильно ли связали числа условием. Если бы обозначили через x цену двух тетрадей, уравнение было бы другим: x + 30 = 150, а ответ x = 120 означал бы общую цену пары.

В текстовой задаче подписывайте единицы измерения в ответе. Уравнение оперирует числами, но задача спрашивает цену, длину, возраст или количество. Если получилось отрицательное количество тетрадей, это повод вернуться к модели, даже если алгебраические преобразования выполнены без ошибок.

Как проверять корень без лишних вычислений

Возьмите найденное значение и отдельно вычислите левую и правую части исходного уравнения. Для 7 − 2x = 1 при x = 3 получаем слева 7 − 2 · 3 = 1, справа 1. Корень подходит. Если числа не совпали, не исправляйте ответ наугад; просмотрите преобразования от первой строки.

Подстановка полезна и для самопроверки ответа, который дал учебник. Если в задачнике указан x = 6, а у вас вышло x = −6, подставьте оба значения. Это быстрее покажет, где ошибка: иногда неверно раскрыта скобка, иногда потерян минус при делении. Верный числовой ответ без объяснения не заменяет решения, но служит хорошим сигналом.

Для уравнений, где ответ «любое число», проверьте два разных значения, например 0 и 1, а затем объясните тождество после преобразований. Два примера не доказывают бесконечность корней сами по себе; доказательством служит верное равенство 0 = 0. Для ответа «корней нет» достаточно показать, что преобразования приводят к противоречию, например 3 = 4.

Таблица типичных ошибок

Ошибку легче заметить, если назвать шаг, на котором она появилась. В таблице собраны распространённые неверные переходы. Сравните их с правильными действиями и попробуйте объяснить каждое своими словами, а не запомнить как отдельный запрет.

После таблицы вернитесь к своему черновику. Если на одном шаге возникла другая запись, чем в образце, выясните причину до проверки ответа. Особенно внимательно проверяйте скобки с минусом: из −(x − 3) получается −x + 3, а не −x − 3.

Задания для самостоятельной тренировки

Решите уравнения по порядку: сначала простые, затем со скобками и дробями. Для каждого запишите хотя бы одну промежуточную строку и проверьте найденный корень в исходном равенстве. В заданиях 6 и 7 переменная может сократиться; запишите не число, а точный вывод о множестве решений.

1. 7 − 2x = 1.
2. 2(x + 3) − x = 11.
3. (x + 5)/2 = 7.
4. 0,4x − 1 = 3.
5. 5(x − 1) = 3x + 7.
6. 2x + 4 = 2(x + 2).
7. 3(x + 1) = 3x + 4.
8. Три одинаковых билета и сбор 120 рублей стоили вместе 720 рублей. Сколько стоил один билет?

Ответы: 1) x = 3; 2) x = 5; 3) x = 9; 4) x = 10; 5) x = 6; 6) любое число; 7) корней нет; 8) 200 рублей. Перед тем как смотреть ответы, подставьте найденные значения хотя бы в первое, третье и пятое уравнения. Это даст навык проверки на разных типах записи.

Разбор нескольких заданий

Во втором уравнении раскрываем скобки: 2x + 6 − x = 11. После приведения подобных получаем x + 6 = 11, значит, x = 5. Проверка исходного равенства: 2(5 + 3) − 5 = 16 − 5 = 11. Если у вас получилось x = 11, вероятно, вы потеряли число 6 при раскрытии скобок.

В пятом задании 5(x − 1) = 3x + 7 превращается в 5x − 5 = 3x + 7. Вычитаем 3x и прибавляем 5: 2x = 12, x = 6. Проверка: слева 5(6 − 1) = 25, справа 3 · 6 + 7 = 25. Подстановка показывает, что скобка раскрыта верно.

В восьмом задании обозначим цену одного билета через x рублей. Тогда 3x + 120 = 720. После вычитания сбора 3x = 600, x = 200. Три билета стоят 600 рублей, вместе со сбором — 720. Запись «ответ 600 рублей» была бы неверной для поставленного вопроса, хотя число 600 появляется на промежуточном шаге.

Что должно остаться в чистовом решении

В работе покажите исходное уравнение, основные преобразования, ответ и проверку, если она требуется учителем. Для текстовой задачи добавьте обозначение переменной словами и единицы измерения. Не скрывайте случай «любое число» или «корней нет» за пустым местом в ответе: объясните, какое числовое равенство получилось после сокращения x.

Если решение длинное, каждую новую строку начинайте с равносильного уравнения. Не ставьте знак равенства между двумя разными действиями, например «3x + 7 = 22 = 3x = 15»: такая цепочка утверждает, что все записи равны как числа, и её трудно читать. Записывайте уравнения столбиком, по одному на строке.

Главный способ избежать ошибки — понимать, что делает каждый шаг. Прибавление одного и того же к обеим частям, раскрытие скобок, приведение подобных и деление на ненулевой коэффициент сохраняют равенство. Проверка в первоначальном уравнении завершает работу: она подтверждает не только число, но и весь путь от условия до ответа.