Смежные и вертикальные углы: задачи с чертежами

Как читать чертёж с двумя пересекающимися прямыми

Пусть прямая AB пересекает прямую CD в точке O. Тогда OA и OB — противоположные лучи, как и OC и OD. Представьте схему ниже; она условная, размеры и положения углов на ней не заданы.

        C
        |
        |
A ------O------ B
        |
        |
        D

Здесь образованы четыре угла: AOC, COB, BOD и DOA. Пары AOC и BOD, а также COB и DOA — вертикальные. Пары AOC и COB, COB и BOD, BOD и DOA, DOA и AOC — смежные. На картинке линии показаны перпендикулярными ради удобства чтения, но правила верны и для наклонных пересекающихся прямых.

Не доверяйте тому, что угол «выглядит прямым» на чужом рисунке. Прямой угол равен 90° только если это дано в условии, следует из свойства фигуры или отмечено специальным значком. Чертёж помогает распознать лучи; числовую меру берут из условия и выводят по правилам.

Почему сумма смежных углов равна 180°

Рассмотрим углы AOC и COB. У них общая вершина O и общая сторона OC. Лучи OA и OB направлены в противоположные стороны одной прямой, поэтому вместе углы заполняют развёрнутый угол AOB. Развёрнутый угол равен 180°, значит, ∠AOC + ∠COB = 180°.

Если ∠AOC = 72°, то ∠COB = 180° − 72° = 108°. Проверка: 72° + 108° = 180°. Если один из смежных углов острый, другой тупой; если один равен 90°, второй тоже 90°. Так можно приблизительно оценить ответ ещё до вычислений.

Смежные углы не обязаны быть одинаковыми. Они равны только в особом случае, когда каждый равен 90°. Поэтому фраза «два угла рядом» не даёт права переносить величину одного на другой; сначала проверьте положение остальных сторон.

Почему вертикальные углы равны

При пересечении прямых AOC и BOD — противоположные углы. Оба смежны с углом COB. Поэтому ∠AOC = 180° − ∠COB и ∠BOD = 180° − ∠COB. Правые части одинаковы, значит, ∠AOC = ∠BOD. Так равенство вертикальных углов выводится из свойства смежных.

Если ∠AOC = 48°, то ∠BOD = 48°. Оставшиеся два угла равны 180° − 48° = 132°. На любом пересечении двух прямых получаются две пары равных углов, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.

Вертикальные углы не имеют общей стороны, хотя вершина у них общая. Именно положение «напротив» отличает их от смежных. Если ребёнок показывает на два угла с общей стороной и называет их вертикальными, предложите назвать все четыре луча: станет видно, какие стороны продолжают друг друга.

Как различать пары на наклонном рисунке

Положение листа не меняет свойств. Поверните мысленно первый чертёж так, чтобы одна прямая шла наискось. Лучи по-прежнему образуют пары противоположных направлений; углы, расположенные друг напротив друга, останутся вертикальными. Если две соседние области вместе составляют развёрнутый угол, их углы смежные.

Попробуйте сами построить второй чертёж: проведите через O прямую AB снизу слева вверх направо, а прямую CD — сверху слева вниз направо. Подпишите A и B на противоположных концах одной линии, C и D — на концах другой. Тогда ∠AOC и ∠BOD будут вертикальными, как и на первом рисунке, хотя ни одна прямая не идёт горизонтально или вертикально.

Важнее точно обозначить противоположные лучи, чем выдержать красивый наклон линий. Если ваш рисунок повернулся иначе, снова найдите пары A–O–B и C–O–D и подпишите четыре области. Числовые меры углов выводятся из условия, а не из того, как широко нарисованы области.

Один известный угол: заполните весь чертёж

Пусть на пересечении прямых ∠AOC = 37°. Сначала найдём вертикальный: ∠BOD = 37°. Затем любой соседний: ∠COB = 180° − 37° = 143°. Его вертикальный угол ∠DOA тоже равен 143°. Контрольная сумма вокруг точки O: 37° + 143° + 37° + 143° = 360°.

Можно начать и со смежного угла, а потом воспользоваться вертикальными. Порядок не влияет на ответ. Но если сразу заполнять все области «по рисунку», легко перепутать, какой угол расположен напротив. Подписывайте пары буквами и ставьте знак градуса рядом с числом, чтобы не потерять единицу измерения.

Если дан тупой угол, например 124°, два смежных будут по 56°, а противоположный тупой — 124°. Мысленная проверка помогает: рядом с тупым углом должен оказаться острый. Значения 124° и 56° дают нужные 180°, а назначить всем четырём областям по 124° нельзя: сумма вокруг точки превысит 360°.

Задача с неизвестным x

Пусть два смежных угла выражены как 3x + 10° и x + 30°. Их сумма 180°, поэтому (3x + 10) + (x + 30) = 180. Приведём подобные: 4x + 40 = 180, 4x = 140, x = 35. Теперь найдём сами углы: первый 3 · 35 + 10 = 115°, второй 35 + 30 = 65°.

Число x не является ответом на вопрос об углах, если в условии просят их величины. Вернитесь к выражениям и подставьте найденное значение. Проверка 115° + 65° = 180° подтверждает и решение уравнения, и применение свойства смежных углов.

Если в задаче указаны вертикальные углы 2x + 15° и 5x − 30°, составляют равенство: 2x + 15 = 5x − 30. Отсюда 45 = 3x и x = 15. Каждый из этих вертикальных углов равен 45°, а смежные с ними — по 135°. Здесь нельзя складывать данные выражения до 180°: названные углы противоположны, а не соседствуют.

Как использовать отношение и разность углов

Если один смежный угол в два раза больше другого, обозначим меньший через x, больший — через 2x. Тогда x + 2x = 180°, x = 60°. Углы равны 60° и 120°. Проверка отношения: 120° действительно в два раза больше 60°.

Если один смежный угол на 40° больше другого, обозначим меньший через x, больший — через x + 40°. Получим 2x + 40 = 180, значит, x = 70°. Второй угол 110°. Разность 110° − 70° = 40°, как в условии. Выбор переменной может быть другим, но перед составлением уравнения нужно ясно назвать, что она означает.

Для вертикальных углов фраза «один больше другого» при обычном пересечении двух прямых невозможна: они равны. Если встретили такое условие, проверьте, не перепутаны ли слова «вертикальные» и «смежные», и не говорится ли о других углах сложного чертежа.

Дополнительный луч внутри угла

На чертеже может быть больше четырёх лучей. Например, луч OE делит ∠AOC на две части, ∠AOE и ∠EOC. Если даны ∠AOE = 25° и ∠EOC = 35°, то ∠AOC = 60°. Только после нахождения полного угла можно использовать вертикальность и получить ∠BOD = 60°.

Затем ∠COB = 180° − 60° = 120°. Нельзя объявить угол BOD вертикальным к одной из маленьких частей AOE или EOC: для вертикальной пары стороны каждого угла должны быть противоположными лучами, а у луча OE на рисунке может вообще не быть противоположного продолжения.

В сложном рисунке обводите именно тот угол, который назван тремя буквами. Средняя буква всегда вершина: у ∠AOC это O. Если речь идёт о сумме двух углов, убедитесь, что они соседствуют и их внутренние области не перекрываются. Тогда сложение имеет геометрический смысл.

Упражнения по условным чертежам

Во всех заданиях прямые AB и CD пересекаются в точке O, как на первом рисунке, если не сказано иначе. Перерисуйте схему и подпишите найденные значения. Ответы приведены после списка; сначала попытайтесь объяснить, какая пара углов используется на каждом шаге.

1. ∠AOC = 58°. Найдите ∠BOD, ∠COB и ∠DOA.
2. ∠COB = 121°. Найдите остальные три угла.
3. ∠AOC = 4x + 5°, ∠COB = 2x + 25°. Найдите x и оба угла.
4. ∠AOC = 3x − 7°, ∠BOD = x + 25°. Найдите x и величину вертикальных углов.
5. Один из смежных углов на 26° больше другого. Найдите оба угла.
6. Один из смежных углов в четыре раза меньше другого. Найдите оба угла.
7. Луч OE проходит внутри ∠AOC; ∠AOE = 20°, ∠EOC = 45°. Найдите ∠BOD и ∠COB.

Ответы: 1) 58°, 122°, 122°; 2) ∠DOA = 121°, ∠AOC = 59°, ∠BOD = 59°; 3) (4x + 5) + (2x + 25) = 180, x = 25, углы 105° и 75°; 4) 3x − 7 = x + 25, x = 16, оба угла по 41°; 5) 77° и 103°; 6) 36° и 144°; 7) полный ∠AOC равен 65°, поэтому ∠BOD = 65°, ∠COB = 115°.

В пятом задании меньший угол x, больший x + 26: 2x + 26 = 180 и x = 77. В шестом меньший угол x, больший 4x: 5x = 180 и x = 36. Если у вас вышло четыре угла по разным значениям, вернитесь к правилу: напротив найденного угла стоит равный ему вертикальный.

Как проверять готовое решение

Назовите общую вершину и убедитесь, что пара лучей действительно противоположна. Для смежных углов проверьте сумму 180°, для вертикальных — равенство. На пересечении двух прямых дополнительно сложите все четыре угла: должно получиться 360°. Если в задаче было уравнение, подставьте найденный x в исходные выражения, а не только в последнюю строку вычислений.

Чертёж должен пояснять решение, а не заменять его. Подпишите на нём буквы, исходные и найденные величины; в тексте запишите, почему выбран знак «+» или «=». Тогда даже при наклонных линиях решение будет читаться однозначно, а случайно неверный рисунок не заставит вас применить не то свойство.