График пути и времени: как определить скорость по наклону

Сначала прочитайте оси и масштаб

На горизонтальной оси обычно откладывают время, на вертикальной — путь. Подписи «t, с» и «s, м» означают, что время измеряется в секундах, а путь — в метрах. Но встречаются и другие варианты: минуты с километрами, часы с километрами. Число скорости получается в единицах вертикальной оси, делённых на единицы горизонтальной. Если путь указан в километрах, а время в часах, результат сначала будет в км/ч.

Масштаб осей нельзя определять по расстоянию между отметками на экране или бумаге на глаз. Одна клетка по вертикали может соответствовать 10 м, а одна по горизонтали — 2 с. Если линия под углом 45° на рисунке, это ещё не говорит о скорости «1 м/с». Считайте числа на шкалах, а не градусы наклона относительно края листа.

Проверьте, что именно написано у вертикальной оси. Пройденный путь накапливается и при обычном определении не уменьшается со временем. Если линия идёт вниз, возможно, по вертикали отложены координата или расстояние до некоторой точки. Тогда трактовать её как график накопленного пути нельзя. Подобная проверка защищает от ошибки ещё до расчёта.

Точка графика читается парой чисел: момент времени и соответствующее значение пути. Например, точка (4 с; 12 м) означает, что к моменту 4 с пройдено 12 м от начала отсчёта пути. Она не говорит сама по себе, что за каждую секунду тело проходило 12 м. Для скорости нужна как минимум ещё одна точка того же участка.

Что означает наклон прямого участка

Если линия на графике пути и времени прямая и поднимается равномерно, за равные промежутки времени прибавляются равные отрезки пути. Такое движение на данном участке описывают постоянной скоростью. Наклон показывает, сколько единиц пути прибавилось за единицу времени. Поэтому скорость равна отношению «прирост пути / прошедшее время».

Возьмём точки A (2 с; 6 м) и B (6 с; 18 м). Изменение пути равно 18 − 6 = 12 м, изменение времени — 6 − 2 = 4 с. Скорость на участке AB равна 12 : 4 = 3 м/с. Важно брать разности координат точек. Деление 18 на 6 тоже случайно даст 3, если прямая проходит через начало координат, но для линии с другим начальным значением такой приём приведёт к ошибке.

Для примера рассмотрим прямую через точки (2 с; 10 м) и (6 с; 18 м). Правильная скорость равна (18 − 10) / (6 − 2) = 8/4 = 2 м/с. Деление конечного пути 18 на конечное время 6 даёт 3 м/с и не описывает наклон этого участка. Начальное значение 10 м может означать, что наблюдение началось после прохождения части пути.

Горизонтальный участок означает, что показание пути не меняется: Δs = 0, следовательно, скорость по такому графику равна нулю. Более крутая восходящая линия показывает большую скорость при одинаковом масштабе и для одного типа графика. Если сравнивать рисунки с разными шкалами, сначала вычислите числовые скорости.

Пошаговый разбор графика из трёх участков

Представим прогулку, описанную точками (0 мин; 0 м), (2 мин; 120 м), (5 мин; 120 м) и (9 мин; 360 м). Между соседними точками проведены прямые отрезки. По виду графика заметно движение, остановку и новое движение. Но скорость каждого участка надо найти через значения на осях.

В таблице разделены вычисление, единица и смысл каждого отрезка. Если переписать только числа без пояснения, легко принять стоянку за «скорость 120 м/мин», потому что на горизонтальном отрезке путь уже равен 120 м.

На первом и третьем участках скорости совпадают, хотя третья линия начинается выше и правее на рисунке. Наклон определяется не высотой расположения линии, а отношением приростов. Чтобы получить метры в секунду, разделим 60 м/мин на 60: получится 1 м/с на обоих движущихся участках.

За всё время человек прошёл 360 м за 9 мин, включая остановку. Средняя скорость за весь промежуток равна 360 : 9 = 40 м/мин, или 2/3 м/с. Это меньше скорости на участках движения, потому что в общее время вошли три минуты стоянки. Если вопрос просит среднюю скорость только во время движения, время будет другим: 2 + 4 = 6 мин, и 360 : 6 = 60 м/мин.

Задача иногда спрашивает не скорость, а путь к определённому времени. Тогда найдите нужный момент на горизонтальной оси, поднимитесь до графика и прочитайте вертикальное значение. Например, к 5-й минуте путь равен 120 м. На графике пройденного пути это накопленный результат, а не расстояние, пройденное только за пятую минуту.

Как выбрать две точки без ошибки

Для прямого участка можно выбрать любые две точки на этом отрезке, если их координаты читаются достаточно точно. Удобнее брать отмеченные вершины или пересечения линии с подписанными делениями шкал. Не обязательно брать начало и конец всего рисунка: если линия меняет наклон, такая пара даст среднюю скорость за несколько участков, а не скорость одного участка.

Записывайте точки в одном порядке. Например, для A (2 с; 6 м) и B (6 с; 18 м) берите позднее значение минус раннее и в числителе, и в знаменателе: (18 − 6)/(6 − 2). Если в числителе вычесть в одном порядке, а в знаменателе — в обратном, получится отрицательное число из-за записи, хотя пройденный путь возрастает.

На графике с крупными клетками можно нарисовать мысленный прямоугольный треугольник. Горизонтальный катет равен изменению времени, вертикальный — изменению пути. Скорость — отношение вертикального катета к горизонтальному. Это способ прочитать числовые разности по шкалам, а не измерять длину катетов линейкой в сантиметрах на листе.

Если линия кривая, скорость на всём выбранном промежутке находят по разности пути в его концах, делённой на длительность: это средняя скорость за промежуток. Постоянной скорости на всей кривой нет. Для 7 класса обычно достаточно сравнить, где график поднимается быстрее, и вычислить среднюю скорость за заданный интервал; точный наклон касательной в отдельной точке относится к более позднему разбору движения.

Чем график пути отличается от графика координаты

Школьные задания иногда называют рисунок «графиком движения», не уточняя вертикальную величину в вопросе. Но подпись оси решает смысл. Путь s — суммарная длина пройденной траектории с начала наблюдения. Если человек прошёл 100 м вперёд и 100 м назад, суммарный путь равен 200 м. При возвращении график накопленного пути продолжает расти, а не падает.

Координата x показывает положение на выбранной оси. При движении обратно она может уменьшаться, и наклон графика координаты от времени может быть отрицательным. Отрицательное значение в этом случае связано с направлением движения, а не означает «отрицательную быстроту». Если взять модуль изменения координаты и разделить на время на прямом участке, получится модуль скорости вдоль данной оси; для всего сложного маршрута пройденный путь и изменение координаты различаются.

Расстояние до дома тоже может уменьшаться, когда человек возвращается. Но это не то же самое, что накопленный путь. На рисунке «расстояние до дома — время» спуск линии говорит о приближении к дому, а не о том, что уже пройденный путь исчез. Не переносите объяснение графика пути на любую нисходящую линию без чтения названия оси.

Для школьного ответа достаточно одной точной фразы: «Если на вертикальной оси указан пройденный путь, график не убывает; если указана координата или расстояние до точки, убывающий участок возможен». Такая оговорка помогает правильно объяснить даже необычный рисунок.

Если задан график скорости, а не пути

Похожие оси часто приводят к путанице. На графике скорость — время вертикальная ось показывает м/с или км/ч, а не метры и километры. Наклон такой линии уже не равен скорости: сама скорость читается по вертикальной шкале. Горизонтальный участок здесь означает постоянную скорость, а не остановку; остановке соответствует линия на уровне нуля.

На графике путь — время скорость ищут по наклону; на графике скорость — время скорость уже дана значением линии. Перед решением подчеркните подпись вертикальной оси и единицу измерения. Эта маленькая привычка предотвращает одну из самых частых ошибок в заданиях с несколькими графиками.

Например, горизонтальная линия на отметке 4 м/с графика скорости означает движение с неизменной скоростью 4 м/с. Горизонтальная линия на отметке 40 м графика пути означает, что пройденный путь не увеличивается: тело стоит. Внешне линии одинаковы, но физический смысл противоположен из-за разных подписей осей.

Задачи для самостоятельной проверки

В каждой задаче считайте, что соседние заданные точки соединены прямыми отрезками. Начните с подписей осей, после чего укажите интервал и вычислите разности. Ответы расположены ниже, чтобы можно было сначала выполнить работу самому.

1. На графике пути от времени отмечены точки (1 с; 4 м) и (5 с; 20 м). Найдите скорость прямого участка между ними.
2. Точки графика: (0 мин; 0 м), (3 мин; 150 м), (5 мин; 150 м). На каком интервале была остановка? Какова скорость на первом участке в м/мин и м/с?
3. Между моментами 2 с и 6 с путь вырос с 10 до 18 м. Ученик разделил 18 на 6 и получил 3 м/с. Объясните ошибку и найдите скорость участка.
4. Один график имеет оси «t, с» и «s, м», другой — «t, с» и «x, м». Линия на обоих рисунках убывает. Какой график не может изображать накопленный пройденный путь без изменения смысла оси?
5. Путешественник прошёл 240 м за первые 4 мин, стоял 2 мин, затем прошёл ещё 120 м за 2 мин. Найдите скорость на каждом движущемся участке и среднюю скорость за все 8 мин.

Для задач с дробным ответом можно оставить обыкновенную дробь или округлить так, как просит учитель. Главное — не терять единицу измерения и не подменять скорость на участке средней скоростью за весь маршрут.

Ответы с объяснением

Сверяйте прежде всего способ решения. Если ваше число отличается, найдите этап, на котором вы выбрали неверные точки, забыли вычесть начальное значение или смешали минуты с секундами.

1. Δs = 20 − 4 = 16 м, Δt = 5 − 1 = 4 с. Скорость равна 16 : 4 = 4 м/с.
2. Остановка длится от 3-й до 5-й минуты: путь остаётся 150 м. На первом участке 150 : 3 = 50 м/мин. В секундах это 50/60 = 5/6 м/с, примерно 0,83 м/с.
3. Ученик разделил конечные показания, не учтя начало участка. Правильно: (18 − 10)/(6 − 2) = 8/4 = 2 м/с.
4. Убывающая линия не подходит для графика накопленного пути s(t): уже пройденный путь не уменьшается. Для координаты x(t) убывание возможно.
5. Первый участок: 240 : 4 = 60 м/мин. Второй движущийся участок: 120 : 2 = 60 м/мин. Весь путь 240 + 120 = 360 м, всё время 4 + 2 + 2 = 8 мин; средняя скорость за всё время 45 м/мин.

Обратите внимание на последнюю задачу: одинаковая скорость на двух движущихся участках не равна средней за всё время из-за остановки. Если по невнимательности разделить 360 на 6 мин, получится скорость только за время движения. Обе величины могут быть полезны, но отвечают на разные вопросы.

Проверочный список перед сдачей

Пока график открыт перед вами, проверьте не только арифметику, но и то, какой вопрос решён. Если спрашивают скорость на участке, в вычислении должны участвовать две точки этого участка. Если спрашивают среднюю скорость за всё время, учитывайте весь путь и весь интервал, включая остановки.

• Прочитаны название и единицы обеих осей.
• Точки взяты с одного нужного участка, их координаты записаны вместе с единицами.
• Вычислены разность пути и разность времени, затем их отношение.
• Горизонтальный участок графика пути объяснён как отсутствие прироста пути.
• Скорость участка не перепутана со средней скоростью за весь маршрут.
• Убывающая линия не названа «уменьшением пройденного пути» без проверки вертикальной оси.

Если все пункты выполнены, ответ объясняет график, а не просто сообщает число. Формула v = Δs/Δt становится понятной, когда каждое Δ связано с конкретными двумя точками на рисунке.

Основной принцип чтения наклона для графика положения и времени разбирается в учебнике OpenStax по физике. При работе со школьным графиком пройденного пути отдельно сохраняйте различие между путём и координатой: именно подпись вертикальной оси определяет толкование линии.