Арифметическая и геометрическая прогрессии: как различить задачу

Последовательность 5, 8, 11, 14 увеличивается каждый раз на 3. Последовательность 5, 10, 20, 40 увеличивается каждый раз в 2 раза. В обоих случаях числа становятся больше, но правило изменения разное. Поэтому слова «растёт», «увеличивается», «становится больше» ещё не определяют вид прогрессии.

Обратите внимание и на другое ограничение: несколько выписанных чисел не устанавливают единственное правило продолжения. Если известно только начало 2, 4, 6, можно предположить прибавление двух, но шестым числом автор последовательности вправе назначить другое значение. Формулы прогрессии применяют, когда её вид указан в условии или правило постоянного изменения задано явно.

Что называют членом и номером последовательности

Член последовательности — само значение, а номер — его место. В обозначении a₅ нижний индекс 5 означает пятый член и не является множителем. Если последовательность начинается с a₁, от первого члена до пятого нужно сделать четыре перехода, а не пять.

Для последовательности 7, 11, 15, 19, 23 соответствие выглядит так. Таблица помогает разделить номер шага и результат вычисления, прежде чем подставлять числа в формулу.

Номер n	Член aₙ	Переходов от первого члена
1	7	0
2	11	1
3	15	2
4	19	3
5	23	4

Именно поэтому в формулах отдельного члена появляется n − 1. Эта единица не случайна: первый член уже известен, его не нужно получать дополнительным действием. При n = 1 формула обязана вернуть исходное значение.

В задачах о времени начальное состояние иногда называют нулевым днём или моментом t = 0. Тогда число изменений будет равно t, а не t − 1. Можно либо сохранить эту нумерацию и записать отдельную формулу, либо считать начальное состояние первым членом. Главное — не менять способ счёта посередине решения.

Арифметическая прогрессия: постоянная разность

В арифметической прогрессии разность между любыми соседними членами одинакова. Её обозначают d: d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ и так далее. Разность может быть положительной, отрицательной или нулевой.

Если a₁ = 7 и d = 4, следующие члены равны 11, 15, 19. Если a₁ = 7 и d = −4, получаются 3, −1, −5. Отрицательная разность означает уменьшение на одинаковое число; она не делает последовательность «неправильной».

Формула n-го члена имеет вид aₙ = a₁ + (n − 1)d. В ней a₁ задаёт начало, а произведение (n − 1)d — суммарное изменение за нужное число переходов. Для a₁ = 7, d = 4, n = 12 получаем a₁₂ = 7 + 11 · 4 = 51.

Эту формулу можно проверить двумя простыми способами. При n = 1 она даёт 7, то есть первый член. При переходе от n к n + 1 результат увеличивается ровно на d. Такая проверка полезнее, чем попытка запомнить формулу без понимания её устройства.

Когда известны два члена с номерами, разность находят по числу переходов между ними. Если a₃ = 11 и a₈ = 31, от третьего члена до восьмого пять шагов. Значит, 5d = 31 − 11 = 20, d = 4. После этого a₁ = a₃ − 2d = 3.

Геометрическая прогрессия: постоянный множитель

В стандартном школьном определении геометрической прогрессии рассматривают последовательность ненулевых чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число q. Его называют знаменателем прогрессии: bₙ₊₁ = bₙq.

Для ненулевых членов q находят делением следующего на предыдущий. Например, в последовательности 3, 6, 12, 24 отношение равно 2. В последовательности 80, 40, 20, 10 оно равно 1/2. Уменьшение тоже может быть геометрическим: здесь каждый следующий член составляет половину предыдущего.

Формула n-го члена — bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Если b₁ = 3 и q = 2, шестой член равен b₆ = 3 · 2⁵ = 96. Степень 5 соответствует пяти последовательным умножениям между первым и шестым членами.

При отрицательном q знаки чередуются. Для b₁ = 2 и q = −3 получаем 2, −6, 18, −54. Поэтому признак «каждый следующий член больше предыдущего» не годится для общего определения геометрической прогрессии.

Не пытайтесь вычислять отношение соседних членов делением на ноль. Последовательность 5, 0, 0, 0 можно описать правилом «после первого шага умножать на ноль», но она не отвечает указанному стандартному определению прогрессии из ненулевых членов. Нулевая постоянная последовательность является арифметической с d = 0; деление 0/0 не позволяет установить для неё знаменатель.

Если q = 1 и первый член ненулевой, все члены одинаковы. Такая последовательность одновременно геометрическая с q = 1 и арифметическая с d = 0. В этих двух моделях нет противоречия: постоянное значение можно получать и прибавлением нуля, и умножением на единицу.

Как выбрать модель по словам задачи

Смотрите на правило перехода между соседними состояниями. Одинаковое добавление измеряется в тех же единицах, что и сами значения: 3 страницы, 5 кубиков, 2 сантиметра. Одинаковое относительное изменение задаётся множителем или процентом от текущего значения.

Формулировка	Модель	Какой параметр найти
В каждом следующем ряду на 2 места больше	Арифметическая	d = 2 места
Каждый день читают на 3 страницы больше, чем накануне	Арифметическая	d = 3 страницы
На каждом шаге число деталей удваивается	Геометрическая	q = 2
После каждого разрезания остаётся половина длины	Геометрическая	q = 1/2
Значение каждый раз увеличивается на 10% от текущего	Геометрическая	q = 1,1
Каждый раз добавляют 10% от первоначального значения	Арифметическая	d равно постоянной добавке

Последние две строки особенно легко перепутать. Пусть исходное значение равно 100. Если каждый раз прибавлять 10% от текущего значения, получим 100, 110, 121, 133,1. Если каждый раз прибавлять 10% от первоначальных 100, добавка всегда равна 10: получим 100, 110, 120, 130.

Процент роста переводят в множитель: увеличение на p% означает умножение на 1 + p/100. Уменьшение на p% означает умножение на 1 − p/100. Например, снижение на 20% даёт q = 0,8, а не 0,2: после уменьшения остаётся 80% прежнего значения.

Для моделей с количеством предметов проверьте, могут ли результаты быть дробными. «Каждый следующий день число учеников уменьшается на 10%» не гарантирует целого числа на каждом шаге. В учебной задаче такое условие может описывать идеализированную величину, но при буквальном подсчёте людей понадобится дополнительное правило округления. Не вводите его молча.

Как найти сумму арифметической прогрессии

Если спрашивают, сколько всего предметов в нескольких рядах или сколько страниц прочитано за несколько дней, нужен итог по всем членам. Последний член показывает только один ряд или один день и не заменяет сумму.

Для первых n членов арифметической прогрессии действует формула Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Если последний член ещё неизвестен, можно записать ту же формулу через начало и разность: Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2.

Почему возникает полусумма первого и последнего членов? В последовательности 4, 7, 10, 13, 16 пары с краёв дают одинаковую сумму: 4 + 16 = 20 и 7 + 13 = 20. Средний член 10 равен половине этой суммы. Среднее значение всех пяти членов — 10, поэтому общий итог равен 5 · 10 = 50.

Формула работает и при отрицательной разности. Для 20, 17, 14, 11 сумма четырёх членов равна 4(20 + 11)/2 = 62. Порядок убывания не меняет способ сложения. Однако при моделировании реальных предметов проверьте, не появилось ли отрицательное количество за пределами рассматриваемых членов.

Как найти сумму геометрической прогрессии

Для первых n членов геометрической прогрессии при q ≠ 1 используют Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Равносильная запись — b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Выбирайте одну форму и аккуратно сохраняйте знаки в числителе и знаменателе.

Возьмём пять членов 3, 6, 12, 24, 48. Их сумма равна 3(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 3 · 31 = 93. Можно проверить результат прямым сложением: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Степень в формуле суммы равна n, хотя в формуле отдельного члена стоит n − 1.

При q = 1 все члены равны b₁, поэтому Sₙ = nb₁. Основную дробную формулу подставлять нельзя: её знаменатель станет нулём. Отдельный случай связан с устройством формулы, а не с отсутствием суммы.

Для q = 1/2 и b₁ = 64 сумма первых четырёх членов равна 64 + 32 + 16 + 8 = 120. По формуле получаем 64(1 − 1/16)/(1 − 1/2) = 120. Здесь складываем ровно четыре члена. Сумма бесконечного числа членов — другое задание, и конечную сумму нельзя самовольно заменять бесконечной.

Разобранная задача: ряды мест

В первом ряду школьного зала 12 мест, а в каждом следующем на 2 места больше. Всего 8 рядов. Нужно найти число мест в последнем ряду и во всём зале. Две части вопроса требуют разных вычислений.

1. Определяем модель: разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
2. Записываем данные: a₁ = 12, d = 2, n = 8.
3. Находим последний ряд: a₈ = 12 + 7 · 2 = 26 мест.
4. Находим сумму: S₈ = 8(12 + 26)/2 = 152 места.

Проверить итог можно парами рядов: 12 + 26, 14 + 24, 16 + 22 и 18 + 20. Каждая пара даёт 38 мест, таких пар четыре, значит, всего 152. Ответ 26 подходит только к вопросу о последнем ряду и не отвечает на вопрос о зале целиком.

Рисунок восьми строк или маленькая таблица помогают заметить, что переходов между рядами семь. Не нужно рисовать все 152 места: схема должна прояснять правило, а не повторять каждую единицу подсчёта.

Разобранная задача: повторное уменьшение

Длина полоски бумаги сначала равна 80 см. На каждом шаге от неё оставляют половину. Требуется узнать длину после четырёх шагов. Начальное состояние относится к моменту до первого действия, поэтому число умножений равно четырём.

Получаем 80 · (1/2)⁴ = 5 см. Последовательность состояний — 80, 40, 20, 10, 5. Если начальную длину назвать b₁, итог будет пятым членом b₅, а не четвёртым. Та же формула тогда выглядит как b₅ = 80 · (1/2)⁵⁻¹ = 5.

Иной вопрос — сумма длин первых четырёх состояний, включая начальное. Она равна 80 + 40 + 20 + 10 = 150 см. Это математическая сумма записанных величин; она не означает, что после разрезания появилась новая полоска длиной 150 см. Прежде чем складывать члены, объясните, какой смысл имеет такой итог в конкретном условии.

Как восстановить неизвестные параметры

Если даны не первый член и шаг, а другие элементы, сначала восстановите параметры прогрессии. Запись номеров рядом с числами поможет не потерять расстояние между ними.

Для арифметической прогрессии с a₄ = 14 и a₉ = 34 имеем пять переходов, поэтому d = (34 − 14)/5 = 4. Первый член равен a₁ = 14 − 3 · 4 = 2. Проверка: a₉ = 2 + 8 · 4 = 34.

Для геометрической прогрессии с b₂ = 6 и b₅ = 48 между членами три умножения. Получаем q³ = 48/6 = 8, значит, q = 2 и b₁ = 6/2 = 3. Делить 48 на 6 и сразу объявлять q = 8 неверно: найдено изменение за три шага, а не за один.

Когда число переходов чётное, знак q может не определяться однозначно. Если b₁ = 2 и b₃ = 18, то q² = 9, поэтому q = 3 или q = −3. Оба варианта дают третий член 18, но вторые члены различаются: 6 и −6. Уточнение «прогрессия из положительных чисел» исключит отрицательный знаменатель; без него нужно сохранить оба случая.

Самостоятельная тренировка

Для каждого задания сначала запишите словами правило изменения. После этого укажите параметры и только затем вычисляйте. Там, где нужно найти сумму, отдельно подпишите число слагаемых.

1. При условии, что правило сохраняется, определите вид последовательностей: 4, 9, 14, 19; 4, 12, 36, 108; 18, 14, 10, 6; 64, 32, 16, 8.
2. В арифметической прогрессии a₁ = 6, d = 3. Найдите a₁₀.
3. В арифметической прогрессии a₁ = 25, d = −4. Найдите a₇.
4. Известно, что a₃ = 11 и a₈ = 31. Найдите d и a₁.
5. В геометрической прогрессии b₁ = 5, q = 2. Найдите b₆.
6. В геометрической прогрессии b₁ = 81, q = 1/3. Найдите b₅.
7. В геометрической прогрессии b₁ = 2, q = −3. Найдите b₄ и объясните его знак.
8. Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии с a₁ = 3, d = 2.
9. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии с b₁ = 2, q = 3.
10. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии с b₁ = 4, q = 1.
11. Значение сначала равно 200 и после каждого из трёх шагов увеличивается на 10% от текущего. Найдите результат. Сравните с добавлением 10% от первоначального значения на каждом шаге.
12. В геометрической прогрессии b₁ = 2 и b₃ = 18. Найдите возможные q и b₂. Затем решите задачу при дополнительном условии, что все члены положительны.

Если вычисление получилось громоздким, ещё раз проверьте, нужен отдельный член или сумма. Например, пять членов геометрической прогрессии дают в формуле суммы степень 5; пятый член содержит степень 4. Эти показатели решают разные задачи.

Ответы с объяснениями

Используйте решения для проверки способа, а не только последнего числа. Если параметры найдены неверно, случайное совпадение одного результата не подтвердит правильность модели.

1. Арифметическая с d = 5; геометрическая с q = 3; арифметическая с d = −4; геометрическая с q = 1/2. В первой и третьей постоянны разности, во второй и четвёртой — отношения. Вывод о продолжении действует при указанном сохранении правила.
2. 33. a₁₀ = 6 + 9 · 3 = 33. Между первым и десятым членами девять переходов.
3. 1. a₇ = 25 + 6 · (−4) = 1. Разность отрицательна, поэтому числа уменьшаются.
4. d = 4, a₁ = 3. Между a₃ и a₈ пять шагов: d = (31 − 11)/5 = 4. До третьего члена два шага, поэтому a₁ = 11 − 8 = 3.
5. 160. b₆ = 5 · 2⁵ = 160. Можно проверить цепочкой 5, 10, 20, 40, 80, 160.
6. 1. b₅ = 81 · (1/3)⁴ = 81/81 = 1.
7. −54. b₄ = 2 · (−3)³ = −54. Между первым и четвёртым членами три умножения на отрицательное число, поэтому знак меняется трижды.
8. 48. a₆ = 3 + 5 · 2 = 13; S₆ = 6(3 + 13)/2 = 48. Прямое сложение 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 даёт тот же результат.
9. 242. S₅ = 2(3⁵ − 1)/(3 − 1) = 242. Члены 2, 6, 18, 54, 162 также дают сумму 242.
10. 28. При q = 1 каждый член равен 4, поэтому S₇ = 7 · 4. Формулу с делением на q − 1 использовать нельзя.
11. 266,2 при росте от текущего; 260 при постоянной добавке. В первом случае 200 · 1,1³ = 266,2. Во втором прибавляем 20 три раза: 200 + 3 · 20 = 260.
12. q = 3, b₂ = 6 или q = −3, b₂ = −6. Из q² = 9 получаются два знаменателя. Условие о положительных членах оставляет q = 3 и b₂ = 6.

Проверочный список перед записью ответа

Формула прогрессии полезна только вместе с понятной моделью. Перед окончательным ответом сверьте правило изменения, нумерацию и смысл найденной величины.

• Я установил постоянную разность или постоянный множитель по условию.
• Я различаю номер члена и само значение.
• При начале с первого члена до n-го сделано n − 1 переходов.
• Начальное состояние до первого действия не потеряно в задачах о времени.
• Для суммы учтено нужное число слагаемых, а не только последний член.
• При q = 1 использована сумма nb₁, без деления на ноль.
• Процент от текущего значения отличается от процента от первоначального.
• Отрицательный знаменатель и возможные два знака при чётной степени учтены.
• Единицы измерения и округление соответствуют смыслу задачи.

Короткая запись «прибавляем одинаковое — арифметическая; умножаем на одинаковое — геометрическая» помогает выбрать направление решения. Следующий обязательный шаг — уточнить, от какого состояния начинается счёт и нужен ли отдельный член или общий итог. Именно эти вопросы чаще всего отделяют верную формулу от неверного ответа.