Задачи на движение по реке: как составить таблицу скорости, времени и расстояния

Какие скорости встречаются в условии

Собственная скорость — скорость лодки в стоячей воде. Скорость течения показывает, как быстро вода переносит предмет относительно берега. Скорость движения по течению относительно берега равна сумме этих скоростей; скорость против течения — разности. В школьной задаче обычно считают скорости постоянными на каждом участке. Это упрощённая модель, заданная условием, а не описание любой настоящей реки.

Запись словами помогает не перепутать направление. Если лодка идёт вниз по течению, поток ей помогает. Если вверх — мешает. При собственной скорости 12 км/ч и течении 2 км/ч получаем 12 + 2 = 14 км/ч вниз и 12 − 2 = 10 км/ч вверх. Собственная скорость должна быть больше скорости течения, если лодка действительно движется против него относительно берега.

Слово «скорость лодки» само по себе бывает неоднозначным. Внимательно прочитайте, сказано ли «собственная скорость», «скорость по течению» или «скорость против течения». Если дана скорость вниз по реке и течение, собственную скорость находят вычитанием. Если дана скорость вверх и течение, собственную скорость находят сложением.

Таблица не заменяет чтения условия

До вычислений выпишите каждый отдельный участок пути: вниз, вверх, до пристани, обратно. Для каждого участка отметьте, что уже известно и что требуется найти. Одинаковое расстояние туда и обратно не означает одинакового времени: скорости различаются. Но если путь идёт между одними и теми же пристанями, расстояние в обе стороны одинаково, если условие не говорит об ином маршруте.

В таблице не пишите «лодка — 12» в графе скорости обоих участков. Число 12 км/ч обозначает собственную скорость, а для формулы расстояния нужна скорость движения относительно берега в данном направлении. Сначала вычислите 14 и 10, затем подставляйте их в строки.

Запись в таблице — не готовое решение любой задачи. В условии могут быть известны другие две величины, поэтому в конкретной строке используйте одну из трёх формул: S = v × t, t = S : v, v = S : t. Буквы удобны как сокращение, но перед ответом вернитесь к словам и единицам измерения.

Подробный пример с разными расстояниями

Пусть моторная лодка имеет собственную скорость 12 км/ч, а течение — 2 км/ч. Она проходит 28 км вниз по реке и 30 км вверх. Нужно узнать время каждого участка и общее время движения. Расстояния здесь разные, поэтому не переносите одно и то же число из первой строки во вторую.

Сначала найдём скорости: вниз 14 км/ч, вверх 10 км/ч. Теперь можно заполнить таблицу. Для времени используем деление расстояния на скорость; единицы «км : (км/ч)» дают часы.

Общее время движения — 2 + 3 = 5 часов. Если в условии было бы сказано об остановке на пристани, её продолжительность прибавляли бы к общему времени поездки, но не к времени движения. Проверка: 14 км/ч × 2 ч = 28 км, 10 км/ч × 3 ч = 30 км. Обе строки возвращают исходные расстояния.

Если расстояние туда и обратно одинаково

Рассмотрим лодку с собственной скоростью 15 км/ч и течением 3 км/ч. Между двумя пристанями 36 км. По течению скорость равна 18 км/ч, против — 12 км/ч. Время вниз: 36 : 18 = 2 часа. Время вверх: 36 : 12 = 3 часа. Тот же путь против течения занимает больше времени, потому что скорость ниже.

Не делите общее расстояние 72 км на собственную скорость 15 км/ч, чтобы получить время поездки. Собственная скорость действует в стоячей воде, а лодка движется по реке в двух направлениях. Правильно вычислить время каждого участка и сложить: 2 + 3 = 5 часов. Средняя скорость за всю поездку — отдельный вопрос, который нельзя решить простым средним арифметическим 18 и 12, если времена различаются.

В обратной задаче могут сообщить скорость вниз и вверх, но не дать собственную скорость и течение. Если вниз 18 км/ч, а вверх 12 км/ч, сложите скорости и разделите на 2: собственная скорость 15 км/ч. Разность 18 − 12 равна удвоенной скорости течения, поэтому течение 3 км/ч. Проверьте: 15 + 3 = 18, 15 − 3 = 12.

Когда известны время и расстояние

Иногда условие сначала требует найти скорость движения на одном участке. Если 24 км по течению лодка прошла за 2 часа, её скорость относительно берега 24 : 2 = 12 км/ч. При течении 2 км/ч собственная скорость составляет 12 − 2 = 10 км/ч. Против течения эта лодка шла бы со скоростью 10 − 2 = 8 км/ч.

Порядок действий здесь обратный предыдущим примерам. Сначала расстояние и время дают скорость по течению, затем из неё убирают вклад воды, потом находят скорость в другом направлении. Таблица не мешает такому решению: в первой строке будут известны S и t, а во второй — v после вычисления.

Если лодка прошла 24 км против течения за 3 часа при течении 2 км/ч, скорость вверх равна 8 км/ч. Собственная скорость тогда 8 + 2 = 10 км/ч. Одинаковая собственная скорость может быть найдена из разных исходных данных — это хороший способ понять, какое действие отвечает направлению.

Как различать течение, плот и стоячую воду

Плот или предмет, который свободно несёт вода и который сам не движется относительно неё, в простой школьной модели имеет скорость течения относительно берега. Если плот за 6 часов проплыл 12 км, скорость течения 12 : 6 = 2 км/ч. Лодка в той же реке имеет собственную скорость отдельно от этих 2 км/ч.

Но не переносите это правило на любой предмет без чтения условия. Катер, лодка с вёслами и пловец могут двигаться относительно воды; плот — в простейшей модели нет. Если в задаче говорится, что двигатель выключили и лодку несёт течением, её движение на этом участке похоже на движение плота. Для каждой строки таблицы нужно понять, что именно делает объект.

Стоячая вода — удобный мысленный опыт: течение равно нулю, поэтому скорость лодки относительно берега совпадает с собственной. Если в решении скорость вверх оказалась выше скорости вниз при положительном течении, проверьте знаки: модель говорит об обратном.

Как проверять ответ без повторения всех вычислений

Проверка начинается с единиц. Скорость должна быть записана в км/ч, расстояние — в км, время — в часах. Если в задаче есть минуты, переведите их в доли часа перед умножением на км/ч: 30 минут = 0,5 часа. Иначе произведение скорости на «30» даст неверное расстояние.

Затем сравните два направления: при одной и той же собственной скорости и положительном течении вниз лодка движется быстрее, чем вверх. Если расстояния равны, время вниз должно быть меньше времени вверх. Если расстояния разные, одного сравнения времени уже недостаточно — используйте S = v × t для каждой строки.

Последняя проверка — подставить найденное в условие. Для скоростей 15 и 3 должно получиться 18 вниз и 12 вверх. Для времени 2 часа при скорости 18 км/ч должно вернуться 36 км. Если вернулось иное число, не меняйте ответ наугад: проверьте, какая строка таблицы относится к нужному направлению.

Задания для самостоятельной тренировки

В каждом задании сначала начертите три графы таблицы и подпишите направления. Затем вычисляйте скорости, время или расстояние. Не смотрите на ответы до завершения работы. Для задачи с остановкой отдельно запишите время движения и общее время поездки.

1. Собственная скорость лодки 11 км/ч, течение 2 км/ч. Найдите скорости вниз и вверх.
2. Собственная скорость 14 км/ч, течение 3 км/ч. Сколько времени нужно на 34 км вниз по реке?
3. Собственная скорость 14 км/ч, течение 2 км/ч. Какое расстояние лодка пройдёт за 3 часа против течения?
4. Между пристанями 70 км. Собственная скорость 12 км/ч, течение 2 км/ч. Сравните время поездки вниз и вверх.
5. По течению лодка идёт 17 км/ч, против — 11 км/ч. Найдите собственную скорость и течение.
6. Плот прошёл 15 км за 5 часов. Собственная скорость моторной лодки в этой реке 13 км/ч. Найдите её скорость против течения.
7. Лодка прошла 21 км вниз за 1,5 часа при течении 2 км/ч. Какова её собственная скорость?

Ответы: 1) 13 и 9 км/ч; 2) 2 часа, потому что 14 + 3 = 17 и 34 : 17 = 2; 3) 36 км, потому что 14 − 2 = 12 и 12 × 3 = 36; 4) вниз 70 : 14 = 5 часов, вверх 70 : 10 = 7 часов, следовательно, вверх дольше на 2 часа; 5) 14 км/ч и 3 км/ч; 6) течение 3 км/ч, скорость лодки вверх 10 км/ч; 7) скорость вниз 21 : 1,5 = 14 км/ч, собственная 12 км/ч.

Частые ошибки в таблице

Одна ошибка — поставить собственную скорость в графу движения вниз и вверх. Исправьте подписи: сначала напишите «собственная» отдельно, потом вычислите две скорости относительно берега. Другая — прибавить течение при движении вверх; проговорите, помогает вода или мешает. Третья — сложить расстояния, а затем разделить на одну из скоростей. Это допустимо лишь в специальных случаях; для обычного пути туда и обратно время каждого участка считают отдельно.

Ещё одна ошибка — перепутать одинаковое расстояние с одинаковым временем. При пути между теми же пристанями расстояния равны, но скорости меняются из-за течения. Если в условии даны разные маршруты, даже расстояния могут различаться. Ориентируйтесь на слова задачи, а не на привычный шаблон «туда и обратно».

Проверочный список перед сдачей

Прочитайте названия строк таблицы и сравните их с текстом задачи. Затем подставьте найденные величины в формулу расстояния и проверьте единицы. Число без подписи «км», «км/ч» или «ч» легко принять не за ту величину.

• Я понял, какая скорость названа в условии: собственная, вниз или вверх.
• Для каждого участка пути есть отдельная строка.
• По течению собственная скорость и течение сложены; против — вычтены.
• Расстояние, скорость и время согласованы по единицам.
• При обратном пути я не перенёс время из первой строки без вычисления.
• Ответ возвращает данные условия при проверке формулой S = v × t.

Если всё сходится, таблица действительно помогла увидеть устройство задачи: две строки описывают два разных движения, а не два случайных набора чисел.