Двоичная запись числа: как перевести небольшое число

Почему в двоичной записи только нули и единицы

В привычной десятичной системе используются цифры от 0 до 9. Положение каждой цифры показывает, сколько единиц, десятков, сотен и следующих степеней десяти входит в число. Например, 347 означает 3·100 + 4·10 + 7·1. Само число не меняется, если записать его через слагаемые; меняется только способ объяснения разрядов.

В двоичной системе основание равно 2, поэтому допустимы только цифры 0 и 1. Разряды справа налево соответствуют степеням двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32 и далее. Запись 1011₂ означает 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1 = 11₁₀. Ноль в середине нельзя просто убрать: 1011₂ и 111₂ — разные числа.

Индексы помогают различать записи. Число 10₁₀ — это десять, а 10₂ — два. Если индекс в условии не указан, смотрите контекст: в учебной задаче обычно специально пишут «десятичное число 10» или «двоичное число 10». В собственном решении индекс лучше сохранять хотя бы у исходного и конечного значений.

Перевод в другую систему счисления не превращает число в новое количество предметов. Тринадцать книг останутся тринадцатью; 13₁₀ и 1101₂ лишь по-разному записывают одно значение. Эта мысль помогает понять, зачем после перевода нужна обратная проверка.

Разряды двоичного числа

Начинайте читать двоичное число с крайней правой цифры. Её вес равен 1. Следующий весит 2, затем 4, 8 и так далее: каждый раз вес удваивается. Если в разряде стоит 1, прибавьте его вес; если 0 — пропустите. Для небольших чисел достаточно нескольких степеней двойки, которые можно выписать на черновике.

Таблица показывает первые шесть разрядов. Записывать степени двойки полезно даже тогда, когда вы помните их наизусть: при длинной записи легко пропустить один разряд.

Например, 10011₂ имеет единицы в разрядах 16, 2 и 1. Значение равно 16 + 2 + 1 = 19₁₀. В разрядах 8 и 4 стоят нули, поэтому эти веса не прибавляют, но позиции сохраняют. Если убрать нули и написать 111₂, получится 7₁₀, а не 19₁₀.

Для нуля есть отдельная простая запись: 0₁₀ = 0₂. Не нужно начинать деление нуля на 2 много раз или оставлять ответ пустым. Единица тоже сохраняет одну цифру: 1₁₀ = 1₂. Эти случаи пригодятся, когда вы будете проверять правило деления на 2.

Перевод из десятичной системы делением на 2

Рассмотрим число 13. Разделите его на 2 и запишите целое частное и остаток. Затем делите на 2 полученное частное, пока частное не станет нулём. Остатки записывайте в отдельной колонке: их порядок при получении обратен порядку цифр двоичной записи.

Таблица делает все действия видимыми. В ней остаток может быть только 0 или 1, потому что деление выполняется на 2.

Читайте последнюю колонку снизу вверх: 1101₂. Почему не сверху вниз? Первое деление выделяет самый правый, младший разряд — остаток при делении исходного числа на 2. Последующие деления показывают всё более старшие разряды. Если для 13 прочитать остатки сверху вниз, получится 1011₂, то есть 11₁₀, что обнаружит обратная проверка.

При делении 6 на 2 остаток равен 0, и этот нуль обязательно остаётся в записи. Ошибочно писать только ненулевые остатки: тогда 13 превратится в 111₂ = 7₁₀. Нули в середине занимают место разряда точно так же, как в десятичной записи 101 отличается от 11.

Для числа 10 действия короче: 10 : 2 = 5, остаток 0; 5 : 2 = 2, остаток 1; 2 : 2 = 1, остаток 0; 1 : 2 = 0, остаток 1. Читаем снизу вверх: 1010₂. Проверяем: 8 + 2 = 10. Это хороший пример, потому что первый остаток равен нулю и двоичная запись заканчивается нулём.

Второй способ: собрать число из степеней двойки

Для небольшого числа можно подобрать разряды без столбика деления. Найдите наибольшую степень двойки, не превышающую исходное число, вычтите её и повторите с остатком. Для 13 сначала берём 8, остаётся 5; затем 4, остаётся 1; затем 1. Получается 13 = 8 + 4 + 1, значит в разрядах 8, 4 и 1 стоят единицы, а в разряде 2 — нуль: 1101₂.

Этот способ удобен, если вы уверенно знаете веса 1, 2, 4, 8, 16, 32. Но он требует внимательности к пропущенным разрядам. Число 18 равно 16 + 2, поэтому запись — 10010₂: между 16 и 2 стоят разряды 8 и 4 с нулями. Запись 110₂ означает только 6.

Для проверки двух способов попробуйте 25. Делением на 2 получается последовательность остатков, которую снизу вверх читают как 11001₂. Через разряды: 25 = 16 + 8 + 1, значит цифры для 16, 8 и 1 равны 1, для 4 и 2 — 0. Получается то же 11001₂.

Выбирайте способ, который лучше подходит к условию. Если нужно показать алгоритм перевода, столбик деления ясно демонстрирует повторяющееся действие. Если просят устно объяснить небольшое число, разложение на степени двойки часто короче. Оба способа должны давать одинаковую запись.

Как перевести двоичное число обратно в десятичное

Обратный перевод — самый надёжный способ проверить ответ. Подпишите веса разрядов справа налево, умножьте каждый вес на соответствующую цифру и сложите результаты. Разряды с нулём можно не писать в сумме, но их места в исходной записи сохраняются.

Например, 10110₂ читается справа налево по весам 1, 2, 4, 8, 16. У единиц стоят веса 16, 4 и 2. Получаем 16 + 4 + 2 = 22₁₀. Можно записать полностью: 1·16 + 0·8 + 1·4 + 1·2 + 0·1 = 22. Первое число слева не следует считать «десятью» только из-за знакомой формы цифр.

Проверим число 1111₂. Все четыре младших разряда равны единице: 8 + 4 + 2 + 1 = 15₁₀. Следующее число 16₁₀ записывается как 10000₂. Переход похож на десятичный переход от 9 к 10: когда цифры разрядов исчерпаны, появляется новый старший разряд.

Если запись начинается с нескольких нулей, например 00101₂, её значение всё равно 5₁₀: 4 + 1. Начальные нули могут появляться в фиксированной длине записи, например в таблице из восьми разрядов. Для самого числового значения они ничего не меняют. Нули внутри записи, напротив, менять или удалять нельзя.

Разбор двух типичных ошибок

Первая ошибка — чтение остатков сверху вниз. Для 21 деление даёт остатки 1, 0, 1, 0, 1 по порядку получения; здесь последовательность случайно выглядит одинаково в обе стороны, и ошибка не заметна. Поэтому для проверки способа лучше взять число без такой симметрии, например 13: остатки по порядку получения 1, 0, 1, 1, а результат снизу вверх 1101₂. Обратный перевод обнаружит неверный порядок.

Вторая ошибка — смешение записи и значения. Ученик видит 10₂ и считает его десятью. Но в двоичной системе 10₂ = 1·2 + 0·1 = 2₁₀. Аналогично 100₂ = 4₁₀, 1000₂ = 8₁₀. Число, записанное как единица с нулями, равно соответствующей степени основания системы.

Есть и ошибка с пропущенным нулём. Если 20 = 16 + 4, нужно записать 10100₂: единицы стоят в разрядах 16 и 4, а разряды 8, 2 и 1 нулевые. Запись 1100₂ дала бы 12. Удобный самоконтроль — выписать все веса от самого большого до единицы, затем поставить напротив каждого 0 или 1.

Не стоит строить ответ только по памяти: «кажется, 21 — это 10101». Проверьте сумму 16 + 4 + 1 = 21. В задачах по информатике правильное объяснение разрядов ценнее случайно угаданной последовательности цифр.

Тренировка на числах до 32

Попробуйте сначала решить задания на черновике. Для десятичных чисел можно выбрать деление на 2 или разложение по степеням двойки, но хотя бы одно число проверьте обоими способами. Для двоичных чисел подпишите веса разрядов.

1. Переведите 6₁₀ в двоичную запись.
2. Переведите 17₁₀ в двоичную запись.
3. Переведите 20₁₀ в двоичную запись.
4. Переведите 31₁₀ и 32₁₀ в двоичную запись. Что изменилось при переходе к 32?
5. Найдите десятичное значение 10101₂.
6. Найдите десятичное значение 10010₂.
7. Верно ли равенство 0110₂ = 110₂? Объясните.
8. Ученик записал 14₁₀ как 1010₂. Найдите ошибку обратным переводом и запишите правильный ответ.

Если работаете вместе с одноклассником, обменяйтесь результатами, но не только числами. Один пусть покажет остатки от деления, другой — сумму степеней двойки. Совпадение двух независимых проверок полезнее списанного конечного ответа.

Ответы с коротким объяснением

Сверяйте не только итоговую двоичную строку, но и значение каждого разряда. Если один нуль пропущен, остальные цифры могут выглядеть знакомо, однако числовое значение изменится.

1. 6 = 4 + 2, поэтому 6₁₀ = 110₂.
2. 17 = 16 + 1, поэтому 17₁₀ = 10001₂.
3. 20 = 16 + 4, поэтому 20₁₀ = 10100₂.
4. 31 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1, значит 11111₂. Для 32 появляется новый разряд: 100000₂.
5. 10101₂ = 16 + 4 + 1 = 21₁₀.
6. 10010₂ = 16 + 2 = 18₁₀.
7. Да. Начальный нуль не меняет значение: обе записи равны 6₁₀. Нуль внутри числа удалять было бы нельзя.
8. 1010₂ = 8 + 2 = 10₁₀, не 14₁₀. Число 14 = 8 + 4 + 2, поэтому правильная запись 1110₂.

В четвёртом задании видно, как работает «перенос» при достижении нового разряда. Пять единиц подряд дают 31, а следующее целое число — 32 — записывается одной единицей в шестом разряде и нулями справа. Это свойство системы счисления, а не случайность таблицы.

Как оформить перевод в тетради

Для маленького числа не обязательно заполнять длинную таблицу. Но ход решения должен быть воспроизводимым: покажите деления с остатками или сумму степеней двойки и подпишите системы счисления. Один конечный ответ без промежуточной проверки легко перепутать, особенно если рядом несколько чисел.

При делении на 2 расположите остатки строго друг под другом и отметьте стрелкой чтение снизу вверх. Если переводите 0, сразу напишите 0₂ и поясните, что цикл деления не нужен. Если переводите двоичное число в десятичное, подпишите веса над цифрами — это уменьшает риск пропустить нуль.

Не смешивайте десятичную цифру 2 с цифрами двоичного результата. В промежуточных частных числа могут содержать любые десятичные цифры, потому что деление вы выполняете в привычной записи. Итоговая двоичная строка состоит только из 0 и 1. Поэтому столбик «13, 6, 3, 1» не противоречит двоичной системе: это промежуточные частные, а не цифры ответа.

Если учитель просит блок-схему алгоритма, повторяйте действие «разделить целое частное на 2, записать остаток» до тех пор, пока частное не станет нулём; после цикла разверните список остатков. Это уже задача на повторение, а не простое ветвление. Не подменяйте схему перечислением готовых двоичных чисел от 1 до 32.

Проверочный список

Перед сдачей перевода выполните несколько быстрых проверок. Они одинаково полезны для столбика деления и для метода степеней двойки:

• В двоичном ответе стоят только цифры 0 и 1.
• Остатки после деления на 2 прочитаны снизу вверх.
• Нули между единицами сохранены в своих разрядах.
• Исходное и конечное число подписаны индексами ₁₀ и ₂ либо названы словами.
• Обратный перевод через веса 1, 2, 4, 8, 16… дал исходное десятичное значение.
• Случаи 0 и 1 обработаны отдельно, без пустого ответа.

Если обратная сумма не совпала с исходным числом, не меняйте наугад один разряд. Вернитесь к остаткам или к таблице весов и найдите первый неверный шаг. После исправления снова выполните обратный перевод — это короткое доказательство, что две записи обозначают одно и то же значение.