Формулы сокращённого умножения: как раскрывать и сворачивать

Зачем нужны эти формулы

Раскрыть скобки можно и по распределительному закону: каждый член первой скобки умножить на каждый член второй. Формулы сокращённого умножения собирают часто повторяющиеся результаты в удобные записи. Они сокращают число строк, но не отменяют смысл умножения. Если забыли формулу, восстановите её из двух скобок вместо угадывания ответа.

«Свернуть» выражение означает выполнить преобразование в обратную сторону: увидеть, что многочлен является результатом известной формулы, и записать его произведением или квадратом. Это полезно при упрощении дробей, решении уравнений и вычислениях. Важно не сворачивать по внешнему сходству: совпасть должны все члены и их знаки.

В этой теме разберём три главные записи: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Для каждой покажем раскрытие, обратный ход, проверку и типичную ошибку. Если пример выглядит сложнее, сначала выделите в нём два повторяющихся выражения и временно обозначьте их a и b.

Квадрат суммы: от скобок к трёхчлену

Квадрат суммы — это произведение двух одинаковых скобок: (a + b)² = (a + b)(a + b). Раскрывая их по обычному правилу, получаем a² + ab + ab + b². Два одинаковых средних слагаемых складываются, поэтому выходит a² + 2ab + b². Средний член 2ab не возникает «из воздуха»: он показывает два перекрёстных произведения.

Для (x + 4)² первым квадратом будет x², удвоенным произведением — 2 · x · 4 = 8x, последним квадратом — 4² = 16. Ответ: x² + 8x + 16. Проверьте подстановкой x = 1: исходное выражение равно (1 + 4)² = 25, раскрытое — 1 + 8 + 16 = 25.

Если во второй части скобки стоит не число, а выражение, схема та же. Например, (2x + y)² = (2x)² + 2 · 2x · y + y² = 4x² + 4xy + y². В первой и средней частях важно считать всё основание 2x, а не возводить в квадрат только x.

Квадрат разности и знак среднего члена

Произведение (a − b)(a − b) даёт a² − ab − ab + b². После приведения подобных получается (a − b)² = a² − 2ab + b². Последний член положительный, потому что произведение двух отрицательных b положительно. Минус остаётся только у среднего члена.

В примере (x − 5)² имеем x² − 2 · x · 5 + 5² = x² − 10x + 25. Ошибочный ответ x² − 25 похож на формулу разности квадратов, но здесь две одинаковые скобки, а не две разные. Проверка x = 5 показывает ошибку сразу: слева 0, а x² − 25 тоже 0, поэтому именно это число неудобно для проверки. Возьмём x = 1: слева 16, ошибочное выражение равно −24, правильное — 1 − 10 + 25 = 16.

Для (3a − 2)² первым квадратом будет (3a)² = 9a², средним членом −2 · 3a · 2 = −12a, последним +4. Итак, (3a − 2)² = 9a² − 12a + 4. Если сомневаетесь в коэффициенте, на полях раскройте (3a − 2)(3a − 2) обычным умножением.

Как узнать полный квадрат в готовом выражении

Чтобы свернуть a² + 2ab + b², сначала найдите квадраты по краям: a² и b². Затем проверьте, равен ли средний член удвоенному произведению их оснований. У x² + 6x + 9 крайние члены — x² и 3², а середина 6x = 2 · x · 3. Поэтому выражение равно (x + 3)².

Для x² − 8x + 16 крайние члены — x² и 4², а середина −8x = −2 · x · 4. Значит, это (x − 4)². Плюс перед последним членом сохраняется и у квадрата разности. Знак внутри скобки показывает средний член, а не последнее число.

Не всякий трёхчлен с квадратами на краях можно так свернуть. У x² + 5x + 9 середина 5x, а удвоенное произведение x и 3 равно 6x. Следовательно, это не квадрат суммы (x + 3)². Подмена 5x на 6x меняет выражение; она не является допустимым преобразованием.

Разность квадратов: два члена и две скобки

Умножим (a − b)(a + b). Получим a² + ab − ab − b². Средние члены взаимно уничтожаются, остаётся a² − b². Так возникает формула разности квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b). В исходном выражении два члена и знак минус между квадратами.

Например, x² − 25 = x² − 5² = (x − 5)(x + 5). Если перемножить скобки обратно, получим x² + 5x − 5x − 25 = x² − 25. Такая обратная проверка лучше запоминания по внешнему виду: она показывает, почему средний член исчез.

Квадраты могут быть выражениями: 9m² − 4n² = (3m)² − (2n)² = (3m − 2n)(3m + 2n). Сначала определите, что возводили в квадрат, затем запишите две скобки. Если забыть коэффициент в одном из оснований, обратное умножение сразу даст неверный первый или последний член.

Сумма квадратов a² + b² по этой формуле не раскладывается: в раскрытии (a − b)(a + b) стоит минус. Не заменяйте плюс минусом ради знакомой схемы. В школьных задачах над действительными числами для суммы квадратов могут использовать другие приёмы, но здесь формула разности квадратов к ней не подходит.

Как отличить квадрат разности от разности квадратов

Названия похожи, а записи устроены по-разному. Квадрат разности — одна скобка, возведённая в квадрат: (a − b)². После раскрытия получается три члена: a² − 2ab + b². Разность квадратов — два отдельных квадрата со знаком минус: a² − b². После сворачивания получаются две разные скобки: (a − b)(a + b).

Сравните при a = 5 и b = 2. Квадрат разности равен (5 − 2)² = 9. Разность квадратов равна 5² − 2² = 25 − 4 = 21. Значения разные, значит, и формулы нельзя менять местами. На письме особенно важно не «потерять» скобки, когда выражение переписывается со строки на строку.

Быстрая проверка по числу членов помогает выбрать направление: выражение в двух одинаковых скобках раскрывайте как квадрат; многочлен из трёх членов пробуйте распознать как полный квадрат; два квадрата с минусом между ними пробуйте разложить в произведение. Но окончательное решение зависит от коэффициентов, поэтому после первого впечатления проверьте средний член и знаки.

Поэтапный разбор смешанного примера

Упростим (x + 2)² − (x − 2)². Каждый квадрат можно раскрыть отдельно: первая часть равна x² + 4x + 4, вторая — x² − 4x + 4. При вычитании второй скобки знаки всех её членов меняются: x² + 4x + 4 − x² + 4x − 4 = 8x. Здесь частая ошибка — поменять знак только у x² и оставить −4x без изменения.

Есть более короткий ход: всё выражение — разность квадратов, где a = x + 2, b = x − 2. Тогда оно равно [(x + 2) − (x − 2)] · [(x + 2) + (x − 2)] = 4 · 2x = 8x. Оба способа верны. Второй удобен, если уверенно снимаете скобки, а первый позволяет увидеть все члены и проверить знаки.

Проверим при x = 3: исходная запись даёт 5² − 1² = 24, а 8x = 24. Числовая проверка не заменяет алгебраического доказательства, но помогает обнаружить промах в длинной цепочке преобразований.

Вычисления без громоздкого умножения

Формула разности квадратов удобна, когда числа близки. Например, 102 · 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 100² − 2² = 10 000 − 4 = 9996. Нужно увидеть общий центр 100 и одинаковое отклонение 2. Если множители не образуют такую пару, применять формулу насильно не стоит.

Квадрат суммы помогает вычислить 31²: (30 + 1)² = 30² + 2 · 30 · 1 + 1² = 900 + 60 + 1 = 961. Для 29² можно взять (30 − 1)² = 900 − 60 + 1 = 841. В обоих случаях последний член положительный; меняется знак только у среднего.

Проверяйте порядок величины. Число 31² немного больше 30² = 900, а 29² — немного меньше. Если при вычислении 29² получилось 959, вы, вероятно, прибавили 60 вместо вычитания. Оценка не даёт точный ответ, но выявляет неверное направление изменения.

Упражнения на раскрытие и сворачивание

Решайте каждое задание в два шага: сначала назовите подходящую формулу и её части a и b, затем выполните преобразование. Если выражение не подходит ни под одну изученную формулу, так и напишите; не меняйте коэффициенты ради «красивого» ответа. После упражнений приведены ответы и разбор наиболее опасных мест.

1. Раскройте (x + 5)².
2. Раскройте (2a − 3)².
3. Разложите x² − 49.
4. Разложите 16p² − 9q².
5. Сверните x² + 10x + 25.
6. Сверните 4y² − 12y + 9.
7. Объясните, почему x² + 8x + 9 не равно (x + 3)².
8. Упростите (x + 1)² − (x − 1)².
9. Вычислите 51 · 49 по формуле.
10. Найдите ошибку в записи (a − 4)² = a² − 16.

Ответы: 1) x² + 10x + 25; 2) 4a² − 12a + 9; 3) (x − 7)(x + 7); 4) (4p − 3q)(4p + 3q); 5) (x + 5)²; 6) (2y − 3)²; 7) у (x + 3)² средний член 6x, а последний 9, поэтому 8x не совпадает; 8) 4x; 9) (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499; 10) потеряны средний член −8a и знак последнего члена: верно a² − 8a + 16.

В шестом задании проверьте всю формулу: (2y − 3)² = (2y)² − 2 · 2y · 3 + 3² = 4y² − 12y + 9. В восьмом можно раскрыть оба квадрата или увидеть разность квадратов. Если получилось 0, проверьте снятие скобок после знака минус: средние члены не уничтожаются, а складываются.

Как проверить преобразование самостоятельно

После раскрытия скобок перемножьте их ещё раз обычным способом или подставьте два разных простых значения переменной. После сворачивания раскройте полученные скобки обратно. Для полного квадрата отдельно проверьте средний член: он должен быть вдвое больше произведения оснований крайних квадратов, со знаком плюс или минус по исходной записи.

Если ответ выглядит коротко, это не означает, что он верен. Запись (x + 5)² вместо x² + 10x + 25 хороша только потому, что обратное раскрытие восстанавливает каждый член. Привычка делать обратный ход особенно полезна перед заданиями на уравнения и дроби, где неверное разложение испортит все последующие шаги.