Неравенства с одной переменной: интервалы на числовой прямой

Уравнение обычно требует найти отдельные корни. Например, уравнение 2x + 1 = 7 имеет один корень: x = 3. Неравенство 2x + 1 < 7 выполняется для любого x < 3: подходят 2, 0, −10, 2,9 и бесконечно много других чисел. Поэтому ответ «x = 2» для такого задания неполон, хотя само число 2 действительно подходит.

Удобно разделять работу на три действия: преобразовать запись, установить множество подходящих чисел, затем показать его на прямой и записать промежутком. Последние два действия не меняют решение: они выражают один и тот же ответ разными способами.

Что означают знаки неравенства

Знак сравнения показывает, какие значения разрешены и можно ли включать границу. Особенно внимательно различайте строгие знаки < и > и нестрогие знаки ≤ и ≥: одна черта под знаком меняет ответ на граничное значение.

Запись	Как прочитать	Подходит ли граница
x < 4	x меньше четырёх	4 не подходит
x ≤ 4	x меньше или равен четырём	4 подходит
x > −2	x больше минус двух	−2 не подходит
x ≥ −2	x больше или равен минус двум	−2 подходит

При x < 4 число 3,99 подходит, а 4 — уже нет. Не нужно искать «последнее число перед четырьмя»: среди действительных чисел такого числа нет. Между 3,99 и 4 можно выбрать 3,999, затем 3,9999 и так далее. Пустая точка означает исключение самой границы, а не запрет на числа, расположенные совсем близко к ней.

Если в условии отдельно сказано, что x — целое число, множество ответов меняется. Тогда для 1 < x < 5 подходят только 2, 3 и 4. Без такого ограничения школьное неравенство обычно решают на множестве действительных чисел; целочисленность нельзя добавлять самостоятельно.

Как записать ответ промежутком

В записи промежутка сначала указывают левую границу, затем правую. Круглая скобка исключает число, квадратная включает его. Эти скобки описывают множество чисел и не имеют отношения к порядку действий в выражении.

Неравенство	Промежуток	Что показать на прямой
x > 3	(3; +∞)	Пустая точка 3, выделение вправо
x ≥ 3	[3; +∞)	Закрашенная точка 3, выделение вправо
x < −1	(−∞; −1)	Пустая точка −1, выделение влево
x ≤ −1	(−∞; −1]	Закрашенная точка −1, выделение влево
−2 < x ≤ 5	(−2; 5]	Пустая точка −2, закрашенная 5, участок между ними
−2 ≤ x ≤ 5	[−2; 5]	Обе точки закрашены, участок между ними

Бесконечность не является числом, которое можно подставить вместо x. Поэтому рядом с −∞ и +∞ всегда ставят круглую скобку. Записи [−∞; 4] и [3; +∞] неверны независимо от того, какой знак был в исходном неравенстве.

В русской школьной записи границы часто разделяют точкой с запятой. Это позволяет не путать разделитель с десятичной запятой: промежуток (1,5; 4] начинается в числе 1,5, а не в двух отдельных числах 1 и 5.

На рисунке сначала обозначьте направление возрастания чисел вправо и подпишите границу. Для x < −1 выделяйте левую сторону, даже если минус перед единицей кажется подсказкой «идти вправо к нулю». Выбор стороны определяется знаком сравнения, а не знаком граничного числа.

Какие преобразования сохраняют решение

Неравенства можно преобразовывать так, чтобы они становились проще, но подходящие значения x оставались теми же. Основа таких преобразований — одинаковые действия с обеими частями.

1. К обеим частям можно прибавить одно и то же число или выражение, определённое для рассматриваемых x.
2. Из обеих частей можно вычесть одно и то же число или выражение.
3. Обе части можно умножить или разделить на положительное число, сохранив знак сравнения.
4. Обе части можно умножить или разделить на отрицательное число, поменяв знак сравнения на противоположный.

Перенос слагаемого — короткая запись второго или первого действия. Из 3x + 5 < 11 получаем 3x < 6, потому что вычитаем 5 из обеих частей. Знак < остаётся прежним. Минус появляется у перенесённого слагаемого, а не у знака сравнения.

Из −3x < 6 получаем x > −2, потому что делим обе части на −3. Здесь меняется именно знак неравенства. Проверить правило можно без переменной: 2 < 5, но после умножения на −1 получается −2 > −5. На прямой число −2 находится правее −5.

Не делите обе части на выражение с переменной, пока не установлен его знак. Например, x может быть положительным, отрицательным или нулём; деление на x потребует рассмотреть разные случаи и исключить ноль. Для обычных линейных заданий достаточно привести выражения к виду ax < b или к аналогичной записи с другим знаком и делить на известный ненулевой коэффициент a.

Разбор: скобки и отрицательный коэффициент

Решим неравенство 5 − 2(x + 1) ≥ x − 6. Сначала раскрываем скобки, затем собираем слагаемые с переменной в одной части. Записывайте промежуточные строки: это помогает отделить ошибку со скобками от ошибки со знаком сравнения.

1. Раскрываем скобки: 5 − 2x − 2 ≥ x − 6.
2. Приводим подобные слагаемые: 3 − 2x ≥ x − 6.
3. Вычитаем x и 3 из обеих частей: −3x ≥ −9.
4. Делим на −3 и меняем знак: x ≤ 3.
5. Записываем ответ: (−∞; 3].

Проверим три значения в исходной записи. При x = 3 левая часть равна 5 − 8 = −3, правая — 3 − 6 = −3. Равенство разрешено знаком ≥, поэтому точка 3 закрашена. При x = 2 получаем −1 ≥ −4 — верно. При x = 4 получаем −5 ≥ −2 — неверно. Выделять нужно числа слева от трёх.

В этой проверке есть две разные цели. Подстановка границы объясняет вид точки. Подстановка числа по каждую сторону проверяет направление выделения. Несколько удачных подстановок сами по себе не доказывают ответ для всех чисел; доказательство дают равносильные преобразования.

Разбор: дроби с числовыми знаменателями

В неравенстве с обычными числовыми знаменателями можно избавиться от дробей, умножив обе части на положительный общий знаменатель. Для (2x − 1)/3 − (x + 2)/2 < 1 таким числом будет 6. Знаменатели 3 и 2 не зависят от x, поэтому никаких запрещённых значений здесь нет.

1. Умножаем всё неравенство на 6: 2(2x − 1) − 3(x + 2) < 6.
2. Раскрываем скобки: 4x − 2 − 3x − 6 < 6.
3. Приводим подобные: x − 8 < 6.
4. Получаем x < 14, то есть (−∞; 14).

Обратите внимание на минус перед второй дробью: после умножения он относится ко всему выражению 3(x + 2). Если написать −3x + 6, получится другое неравенство и другая граница.

При x = 14 исходная левая часть равна 27/3 − 16/2 = 1. Знак строгий, поэтому граница не входит в решение. При x = 2 получаем 1 − 2 = −1 < 1; это число находится внутри найденного промежутка и подходит.

Если переменная стоит в знаменателе, правило становится сложнее. В записи 1/x > 2 сначала необходимо исключить x = 0 и учитывать знак x. Умножать такое неравенство на x с сохранением знака для всех x нельзя. Отсутствие переменного знаменателя — существенное условие простого приёма с общим знаменателем.

Двойное неравенство и пересечение промежутков

Двойная запись −3 ≤ 2x + 1 < 7 означает, что одновременно выполняются два условия: выражение не меньше −3 и меньше 7. Можно действовать со всеми тремя частями сразу, если каждый шаг разрешён для обоих сравнений.

Вычитаем 1 из каждой части: −4 ≤ 2x < 6. Делим каждую часть на положительное число 2: −2 ≤ x < 3. Ответ — [−2; 3). Левая точка включена, правая исключена, поскольку знаки у границ различаются.

Система x > −1 и x ≤ 4 также требует выполнить оба условия. На прямой нужно оставить общую часть двух выделений. Она начинается правее −1 и заканчивается в 4, включая последнее число: (−1; 4]. Такое действие называют пересечением множеств.

Проверять пересечение удобно вопросом «подходит ли число сразу к каждому условию?». Для этой системы число 0 подходит к обоим условиям. Число 5 удовлетворяет первому, но нарушает второе, поэтому в ответ не попадает. Одного удачного сравнения недостаточно.

Иногда общей части нет. Условия x < 2 и x ≥ 5 несовместимы: число не может одновременно находиться левее двух и не левее пяти. Ответ обозначают ∅ и читают как «пустое множество». Это полноценный результат решения, а не признак обязательной ошибки.

Чем «или» отличается от «и»

Если условие допускает x < −2 или x ≥ 3, достаточно выполнить хотя бы одно сравнение. В ответ входят оба отдельных участка прямой: (−∞; −2) ∪ [3; +∞). Символ ∪ обозначает объединение.

Проверим несколько значений словами. Число −5 удовлетворяет первому условию, поэтому подходит. Число 4 удовлетворяет второму, поэтому тоже подходит. Число 0 не удовлетворяет ни одному и не входит в ответ. Между −2 и 3 остаётся разрыв; его нельзя закрасить ради одной непрерывной линии.

Две формулировки с одинаковыми числами могут давать совершенно разные множества. При x > −2 и x < 3 ответ — (−2; 3). При x > −2 или x < 3 подходят все действительные числа: каждое число удовлетворяет хотя бы одному из условий. Значения −2 и 3 тоже входят в объединение, хотя каждая из этих границ исключена из одного отдельного промежутка.

Значение слов «и» и «или» сохраняется в задачах с двумя решёнными неравенствами. Сначала находите ответ для каждого, затем решайте, нужна общая часть или все найденные участки. Не соединяйте границы автоматически по внешнему виду записи.

Когда ответ — все числа или ни одного числа

После приведения подобных слагаемых переменная иногда исчезает. Тогда остаётся проверить обычное числовое сравнение. Делить на получившийся нулевой коэффициент нельзя.

Например, 2(x + 3) ≥ 2x + 5 превращается в 2x + 6 ≥ 2x + 5, а затем в 6 ≥ 5. Сравнение верно при любом x, поэтому ответ — все действительные числа, или (−∞; +∞). Запись не ограничивала область допустимых значений, так что дополнительных исключений нет.

Неравенство 3x − 1 > 3x + 2 превращается в −1 > 2. Это неверно при любом x, поэтому ответ — ∅. Нельзя написать «x > 3» или «x = 0»: после сокращения переменной условия на x вообще не осталось.

Чтобы уверенно работать с раскрытием скобок, переносом и подобными слагаемыми, полезно отдельно потренировать линейные уравнения с одной переменной. Отличие при решении неравенств появляется в шаге с отрицательным множителем и в записи множества ответов.

Ошибки, которые меняют ответ

Исправляйте ошибку в той строке, где она возникла. Если сразу заменить только последний промежуток, неверное преобразование останется незамеченным и повторится в следующем задании.

Ошибка	Почему это неверно	Как исправить
Из −2x < 8 получено x < −4	При делении на отрицательное число знак не изменён	Записать x > −4
Для x ≤ 5 указано (−∞; 5)	Граница исключена, хотя равенство разрешено	Поставить квадратную скобку справа
Для x > −3 выделена левая сторона	Сторона выбрана по минусу, а не по знаку >	Выделить числа правее −3
Ответ x < 4 записан как x = 3	Найдено одно подходящее число вместо всех	Записать (−∞; 4)
Для системы выбраны оба луча целиком	Вместо пересечения сделано объединение	Оставить только общую часть
После 0x < 2 выполнено деление на 0	Деление на ноль не определено	Проверить сравнение 0 < 2: подходят все x
Неравенство умножено на x без обсуждения знака	При отрицательном x знак должен измениться, при нуле возникает отдельный случай	Не делить и не умножать на неизвестный по знаку множитель без разбора

Проверка одним числом не заменяет решение, но хорошо обнаруживает такие ошибки. Если в ответе указано x < −4, а подстановка −5 нарушает исходное неравенство, нужно вернуться к преобразованиям, а не подбирать «более удачное» проверочное число.

Задания для самостоятельной работы

Решите задания сначала без ответов. Для каждого неравенства запишите промежуток и нарисуйте прямую с подписанными границами. В задачах на систему или объединение отдельно покажите исходные участки, а затем итоговый ответ.

1. Запишите промежутком условие x ≥ −4. Какой будет точка −4?
2. Запишите неравенством промежуток (−3; 2]. Какие из чисел −3, 0, 2, 3 в него входят?
3. Решите 4x − 7 < 9.
4. Решите 6 − 3x ≥ 15.
5. Решите 2(x − 3) ≤ 5x + 9.
6. Решите (x + 1)/2 − (x − 2)/3 > 1.
7. Решите двойное неравенство −5 < 3x + 1 ≤ 10.
8. Найдите решение системы: x ≥ −2 и 2x − 1 < 7.
9. Запишите множество чисел, для которых x < −1 или x ≥ 2.
10. Решите систему: 2x > 8 и x ≤ 3.
11. Решите два неравенства: 4(x − 1) ≤ 4x + 2; 5x + 3 < 5x − 1.
12. В кружке не больше 24 учеников. После прихода ещё 5 учеников стало 3x + 5 человек, где x — целое положительное число. Какие значения x допустимы?

Последнее задание требует учитывать смысл переменной. Алгебра даст границу для действительных чисел, а условие о целом положительном x оставит конечный набор. Этот дополнительный шаг нужно объяснить в решении.

Ответы и пояснения

Сравните не только границы, но и скобки. Если числовой ответ совпал, а граница отмечена иначе, решение всё равно отличается от правильного: потеряно или добавлено одно значение.

1. [−4; +∞). Точка −4 закрашена, потому что равенство разрешено. Выделение идёт вправо.
2. −3 < x ≤ 2. Входят 0 и 2; не входят −3 и 3. Левая граница исключена, правая включена.
3. x < 4; (−∞; 4). Прибавляем 7: 4x < 16. Делим на 4 без изменения знака. При x = 4 получается равенство 9 = 9, которое строгий знак не допускает.
4. x ≤ −3; (−∞; −3]. Получаем −3x ≥ 9. При делении на −3 знак ≥ заменяем на ≤. Граница −3 подходит: 6 + 9 = 15.
5. x ≥ −5; [−5; +∞). Из 2x − 6 ≤ 5x + 9 следует −3x ≤ 15, затем x ≥ −5. Если переносить иначе, можно получить 0 ≤ 3x + 15 и прийти к тому же ответу.
6. x > −1; (−1; +∞). Умножаем на 6: 3(x + 1) − 2(x − 2) > 6. Получаем x + 7 > 6. При x = −1 левая часть исходного неравенства равна 1, поэтому граница не подходит.
7. −2 < x ≤ 3; (−2; 3]. Вычитаем 1: −6 < 3x ≤ 9. Делим на 3. Левая граница исключена, правая включена.
8. [−2; 4). Второе условие даёт x < 4. Общая часть с x ≥ −2 расположена между −2 и 4, включая только левую границу.
9. (−∞; −1) ∪ [2; +∞). Между лучами остаётся разрыв. Число −1 исключено, число 2 включено.
10. ∅. Первое условие даёт x > 4, второе требует x ≤ 3. Общих значений нет.
11. Для первого — все действительные числа; для второго — ∅. Получаются числовые сравнения −4 ≤ 2 и 3 < −1. Первое верно, второе неверно независимо от x.
12. x = 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Из 3x + 5 ≤ 24 получаем x ≤ 19/3. С учётом положительной целочисленности максимальное значение — 6. При x = 6 будет 23 ученика, при x = 7 — 26, что превышает ограничение.

Как проверить готовое решение

Перед сдачей работы полезно пройти путь от исходной записи до промежутка в обратном направлении. Такая проверка занимает меньше времени, чем повторное решение, и показывает, в каком месте мог измениться смысл условия.

• Все скобки раскрыты с учётом множителя перед ними.
• При переносе изменён знак слагаемого, а не знак сравнения.
• При делении на отрицательное число знак сравнения изменён.
• Граница подставлена в исходное неравенство; её включение согласовано со знаком.
• Сторона на прямой совпадает с условием «меньше» или «больше».
• В системе оставлена общая часть, при слове «или» выполнено объединение.
• Возле бесконечности стоят круглые скобки.
• Ограничения на целые, положительные или допустимые значения взяты из условия, а не придуманы.

Правильно решённое неравенство даёт согласованные записи: знак сравнения, рисунок и промежуток описывают одни и те же числа. Если x ≤ 3, точка 3 должна быть закрашена, выделение должно идти влево, а ответ — иметь вид (−∞; 3]. Сверка этих трёх способов записи делает решение понятным и позволяет объяснить его словами.