Обыкновенные дроби: как сравнить и отметить на числовом луче

Что показывают числитель и знаменатель

Знаменатель сообщает, на сколько равных частей разделили одну целую единицу. Числитель показывает, сколько таких частей взяли. В дроби 3/5 единицу разделили на пять равных частей и взяли три. Слово «равных» здесь обязательно: три кусочка разного размера не дают точной записи 3/5 без дополнительной информации.

Когда сравнивают дроби, сначала договариваются об одном целом. Половина маленького яблока и треть большого яблока могут различаться по массе, хотя 1/2 как число больше 1/3. На числовом луче целое всегда изображается одним выбранным единичным отрезком. Поэтому сравнение дробей относится к числам, а не к двум предметам произвольного размера.

Проверяйте, положительные ли дроби и не равен ли знаменатель нулю. В школьных примерах ниже числители неотрицательные, а знаменатели положительные. Дробь со знаменателем 0 не определена. Если вы пока работаете только с долями от 0 до 1, к неправильным дробям перейдите после освоения первого единичного отрезка.

Как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями

У дробей 2/7 и 5/7 части имеют одинаковый размер — одну седьмую. Пять таких частей больше двух, поэтому 5/7 > 2/7. Не нужно переводить их в десятичные дроби: число частей уже даёт ответ. На рисунке разделите одинаковые прямоугольники на семь равных частей и закрасьте две и пять; различие станет заметным.

Это правило работает и за пределами единицы. Например, 9/4 > 7/4: четверти одинаковы по размеру, но их число различается. Не пытайтесь сравнить только целые части, если обе дроби неправильные: проще использовать общий знаменатель, который уже дан.

Полезная проверка — поставить обе точки на одном числовом луче. Если каждая единица разделена на семь равных отрезков, точка 2/7 находится на второй отметке после нуля, а точка 5/7 — на пятой. Пятая правее второй, что подтверждает знак сравнения.

Как сравнить дроби с одинаковыми числителями

У дробей 3/4 и 3/7 взято одинаковое количество частей, но сами части разного размера. Одна четверть больше одной седьмой, потому что одинаковую единицу разделили на меньшее число частей. Поэтому 3/4 > 3/7. Для положительных дробей с равным числителем меньший знаменатель даёт большую дробь.

Распространённая ошибка — посмотреть на 7 и решить, что 3/7 больше. Семёрка в знаменателе показывает не число взятых долей, а насколько мелко разделена единица. Проверьте на знакомом примере: половина пирога больше четверти того же пирога, хотя 2 < 4. Рисунок полезен, если вы разделили один и тот же по размеру пирог.

Если числитель равен нулю, обе дроби с допустимыми знаменателями равны нулю: 0/4 = 0/7. Обычное правило «меньший знаменатель — большая дробь» для этого случая не даёт строгого неравенства. В задании сначала проверьте, не равны ли оба числителя нулю.

Что делать, когда различаются и числители, и знаменатели

Возьмём 3/4 и 5/8. Чтобы получить равные по размеру доли, заменим 3/4 равной дробью 6/8. Теперь сравнение очевидно: 6/8 > 5/8, значит 3/4 > 5/8. Умножение числителя и знаменателя одной дроби на одно и то же ненулевое число не меняет её значения. Мы только назвали те же три четверти шестью восьмыми.

Для 2/3 и 3/5 удобен знаменатель 15: 2/3 = 10/15, а 3/5 = 9/15. Следовательно, 2/3 > 3/5. Перед записью ответа проверьте преобразования: 2 × 5 = 10, 3 × 5 = 15; 3 × 3 = 9, 5 × 3 = 15. Не умножайте только знаменатель — тогда значение дроби изменится.

Иногда проще сравнить с ориентиром. Дробь 3/8 меньше половины, потому что половина равна 4/8. Дробь 5/6 больше половины, потому что половина равна 3/6. Поэтому 3/8 < 5/6 без общего знаменателя. Такой способ особенно полезен для устной прикидки, но ориентир должен действительно разделять две дроби.

Как нарисовать числовой луч

Проведите луч, поставьте начало 0 и отметьте 1. Расстояние от 0 до 1 — единичный отрезок. Его длину можно выбрать удобной для тетради, например восемь клеток, если нужно показать восьмые доли. Для всех следующих единиц сохраняйте ту же длину. Если 0–1 занимает восемь клеток, то 1–2 тоже занимает восемь.

Чтобы отметить 3/4, разделите 0–1 на четыре равных отрезка и отсчитайте три от нуля. Если нужно одновременно отметить 5/8, удобнее сразу разделить единицу на восемь частей: 3/4 совпадёт с 6/8, а 5/8 окажется на одну отметку левее. Рисунок не обязан быть художественным, но расстояния между соседними восьмыми должны быть одинаковыми.

0       1/8     2/8     3/8     4/8     5/8     6/8     7/8      1
|--------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
                                                5/8     3/4

В печатной строке промежутки могут отображаться неодинаково; в тетради используйте линейку и клетки. Главное здесь не внешний вид схемы, а порядок точек: 5/8 левее 6/8, а 6/8 — это 3/4. Чтобы проверить себя, проговорите от нуля каждую долю по порядку.

Как отметить дробь больше единицы

У 7/4 числитель больше знаменателя. Это семь четвертей, то есть одна целая и ещё три четверти: 7/4 = 1 3/4. На луче отметьте 1 и 2 одинаковыми единичными отрезками. Разделите промежуток от 1 до 2 на четыре равные части и отложите от 1 три четверти. Точка 7/4 находится между 1 и 2, ближе к 2.

Можно считать и от нуля: четыре четверти приводят к 1, ещё три — к 1 3/4. Оба пути дают одну точку. Если расположить 7/4 между 0 и 1, значит вы разделили весь луч на семь частей по числителю, а не каждую единицу на четыре части по знаменателю.

Дробь 6/3 равна 2: шесть третьих составляют две целые единицы. Её точка совпадает с отметкой 2, и это не ошибка. Разные записи могут обозначать одно число и потому занимать одно место на луче: 1/2, 2/4 и 4/8 совпадают.

Почему положение точки помогает сравнивать

На числовом луче большее число расположено правее меньшего. Это правило касается и целых, и дробей. Если точки 2/5 и 3/5 стоят на втором и третьем делениях после нуля, сразу видно, что 2/5 < 3/5. Если дроби равны, их точки совпадают, даже когда записи различаются.

Но рисунок может обмануть, если деления неравны. Нельзя нарисовать пять узких частей для первой дроби и четыре широкие для второй, а затем сравнить положение «на глаз», не сохраняя общей единицы. Выбирайте удобную общую сетку или приводите дроби к общему знаменателю. Измерение линейкой помогает проверить аккуратность, а вычисление — точность вывода.

Полезно сначала оценить область: дробь меньше 1, равна 1 или больше 1. Для положительных дробей это видно по сравнению числителя и знаменателя. Если числитель меньше знаменателя, точка между 0 и 1; если равен — на 1; если больше — правее 1. Такая предварительная проверка предупреждает грубые ошибки рисунка.

Задания для самостоятельной тренировки

Решайте задания без подсказки, а затем сравните ответы с разбором. Для первых четырёх достаточно поставить знак и коротко назвать правило. Для следующих двух нарисуйте собственный луч: используйте одинаковый единичный отрезок для всех точек. Если мест на бумаге мало, выбирайте длину единицы кратной знаменателям.

1. Сравните 4/9 и 7/9.
2. Сравните 5/6 и 5/8.
3. Сравните 2/3 и 5/9.
4. Сравните 3/4 и 4/5.
5. Отметьте на одном луче 1/4, 1/2 и 3/4.
6. Отметьте 5/4 и 7/4; между какими целыми числами они находятся?
7. Запишите две дроби, которые попадут в точку 1/2.
8. Исправьте ошибку: «3/7 > 3/5, потому что 7 > 5».

Ответы: 1) 4/9 < 7/9; 2) 5/6 > 5/8; 3) 2/3 = 6/9 > 5/9; 4) 3/4 = 15/20 < 16/20 = 4/5. В пятом задании точки идут слева направо 1/4, 1/2, 3/4. В шестом обе точки между 1 и 2: 5/4 = 1 1/4, 7/4 = 1 3/4. Для седьмого подойдут 2/4 и 3/6. В восьмом верно 3/7 < 3/5: пятые доли больше седьмых при одной и той же единице.

Частые ошибки и проверочный список

Одна ошибка — сравнить числители, не посмотрев на знаменатели: 3/4 и 4/5 нельзя оценить только по 3 и 4. Другая — разделить весь путь от 0 до 2 на число частей по знаменателю, вместо того чтобы делить каждую единицу. Ещё одна — считать, что дроби с разной записью не могут быть равны. Исправить все три помогает вопрос: «Какого размера одна доля и сколько таких долей взято?»

Перед сдачей посмотрите на математическую запись и на рисунок вместе. Они должны подтверждать друг друга. Если вычисление даёт 3/4 > 5/8, а на луче 3/4 слева, ошибка в разметке или преобразовании.

• У сравниваемых дробей одна и та же единица.
• Я проверил знаменатели и выбрал подходящее правило.
• При приведении к общему знаменателю изменил числитель и знаменатель согласованно.
• На луче единичные отрезки равны, а деления внутри них равномерны.
• Дроби больше единицы расположены правее 1.
• Знак сравнения согласуется с порядком точек.

После такой проверки дроби перестают быть двумя числами, между которыми нужно наугад поставить знак: каждая запись указывает определённое место на общем числовом луче.