Отрицательные числа: координатная прямая и сравнение

Зачем нужны числа меньше нуля

Число нуль удобно считать исходной отметкой. Температура +3 °C означает три градуса выше нуля, а −3 °C — три градуса ниже. Если лифт находится на первом подземном уровне, его можно обозначить как −1 относительно уровня входа. Отрицательное число сообщает положение относительно выбранной точки отсчёта, а не «плохое» значение само по себе.

В задаче сначала выясняйте, что принято за нуль. Для температуры это 0 °C, для высоты — выбранный уровень, для счёта — отсутствие долга или остатка в условной модели. Если нуль меняется, числовая отметка того же места может измениться. Именно поэтому координатная прямая начинается с выбора начала отсчёта.

Запись −4 читается «минус четыре». Знак перед числом показывает, по какую сторону нуля находится точка. Число +4 расположено на таком же расстоянии от нуля, но справа. Иногда плюс перед положительным числом не пишут: 4 и +4 обозначают одно и то же число.

Как устроена координатная прямая

Для построения нужны прямая, точка O с координатой 0, направление и единичный отрезок. Положительное направление обычно показывают стрелкой вправо. Если один отрезок равен одной клетке, точки 1, 2, 3 располагаются через одну клетку вправо; −1, −2, −3 — через одну клетку влево. Масштаб выбирают заранее и сохраняют на всём рисунке.

Представьте ряд отметок: −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Между соседними целыми числами одинаковое расстояние. Точка −3 находится на три единичных отрезка левее нуля. Точка 2 — на два отрезка правее. Если поставить −3 всего в одной клетке от нуля, а 2 в двух клетках, рисунок будет неверным независимо от красивой подписи.

На прямой можно размещать не только целые числа. Для 0,5 разделите единичный отрезок пополам; для −1,5 отложите один целый отрезок и ещё половину влево. Дробь −3/4 лежит между −1 и 0. Нужные деления определяются знаменателем или десятичной частью, но направление остаётся прежним.

Как отметить отрицательное число без ошибки

Сначала найдите нуль. Затем решите, в какую сторону идти: знак «−» ведёт влево. После этого отложите расстояние, указанное числом без знака. Для −6 это шесть единичных отрезков влево, для −0,5 — половина отрезка влево. Подписывайте точку только после подсчёта шагов.

Если на рисунке уже есть отметки, проверьте масштаб по двум соседним известным числам. Например, между 0 и 2 нарисовано четыре клетки. Значит, одна единица занимает две клетки, а −3 нужно поставить на шесть клеток левее нуля. Не принимайте одну клетку за единицу автоматически: рисунок может использовать другой масштаб.

Для самопроверки посмотрите на порядок. Отрицательные числа идут слева направо как −5, −4, −3, −2, −1. Чем дальше влево, тем число меньше. Если на вашем рисунке −5 оказалось правее −2, ошибка либо в направлении, либо в подсчёте отрезков.

Главное правило сравнения

На координатной прямой больше то число, которое находится правее. Правило работает для любых действительных чисел, которые школьник отмечает на прямой: целых, десятичных и обыкновенных дробей. Оно объясняет все отдельные случаи, поэтому полезнее запомнить смысл, чем длинный набор исключений.

Сравним −7 и −3. От нуля точка −7 дальше влево, чем −3, поэтому −7 < −3. Сравним −0,4 и 0: отрицательная точка левее нуля, значит, −0,4 < 0. Сравним −2 и 5: любое положительное число справа от нуля, следовательно, −2 < 5.

Не путайте числовой порядок с расстоянием от нуля. Расстояние от точки −7 до нуля больше, чем расстояние от −3, но само число −7 меньше. Фраза «семь больше трёх» относится к натуральным числам 7 и 3; при сравнении −7 и −3 нужно учесть положение точек.

Почему −2 больше −5

Эта пара вызывает больше всего ошибок. Можно мысленно пройти по прямой слева направо: −5, −4, −3, −2, −1, 0. До −2 мы доберёмся после −5, значит, −2 находится правее и является большим числом. Запись: −2 > −5.

Температурная проверка помогает закрепить вывод. При −2 °C теплее, чем при −5 °C. Но температура — только пример, а не само правило: на координатной прямой порядок будет тем же и для долга, глубины или чисел без жизненной истории. Если пример вызывает путаницу, вернитесь к расположению точек.

Отрицательные числа иногда сравнивают через их расстояния от нуля: у −2 оно равно 2, у −5 — 5. Из двух отрицательных чисел больше то, чья точка ближе к нулю. Это удобное следствие основного правила, а не отдельная загадка. Оно действует только когда сравниваются два отрицательных числа; для пары −2 и +1 достаточно увидеть разные стороны нуля.

Противоположные числа и расстояние до нуля

Числа 4 и −4 называют противоположными: их точки находятся по разные стороны нуля на одинаковом расстоянии. То же верно для 0,7 и −0,7. Противоположное нулю число — сам нуль. Не называйте противоположными −4 и −5: оба числа отрицательные, и расстояния от них до нуля различаются.

Расстояние от точки числа до нуля называют модулем числа. Обозначение |−4| = 4 означает четыре единичных отрезка. Также |4| = 4 и |0| = 0. Модуль не бывает отрицательным, потому что расстояние не бывает отрицательным. Если тема модуля ещё не изучалась, достаточно говорить «расстояние до нуля».

Модуль полезен при сравнении отрицательных чисел: |−8| = 8, |−3| = 3, значит, −8 расположено дальше влево и −8 < −3. Ошибка возникает, когда из неравенства 8 > 3 автоматически пишут −8 > −3. Для отрицательных чисел больший модуль означает меньшую координату.

Как сравнивать отрицательные дроби

Дроби подчиняются тому же порядку. Числа −1/2 и −3/4 лежат между −1 и 0. Половина единицы ближе к нулю, чем три четверти, поэтому −1/2 > −3/4. Если дроби трудно представить, приведите положительные части к общему знаменателю: 1/2 = 2/4. Тогда сравнение точек −2/4 и −3/4 становится нагляднее.

Десятичные дроби можно выровнять по разрядам. Для −1,2 и −1,15 запишите −1,20 и −1,15. Число −1,20 дальше от нуля влево, значит, −1,2 < −1,15. Не сравнивайте просто длину записи: у −1,2 один знак после запятой, у −1,15 два, но количество цифр не определяет порядок.

Если в паре −0,8 и −1,1 одна отрицательная часть по модулю больше единицы, расположите числа мысленно: −1,1 левее −1; −0,8 находится между −1 и 0. Поэтому −1,1 < −0,8. Дробный вид не отменяет необходимости видеть прямую.

Разбор нескольких заданий

В каждом задании сначала выясните, где находятся точки, и только потом ставьте знак сравнения. Даже если ответ кажется очевидным, короткое объяснение покажет, что правило понято, а не угадано. Для письменной работы достаточно одной фразы о положении относительно нуля или друг друга.

В последней строке знаменатели одинаковы, поэтому видно, какой модуль больше. Если знаменатели разные, сначала приведите дроби к общему знаменателю или оцените их положение. Запись «−1/4 больше, потому что 1 меньше 3» без слова о расстоянии недостаточна: так можно случайно перенести вывод на пару положительных чисел, где порядок противоположный.

Практика для самостоятельной проверки

Попробуйте решить задания на бумаге. В первых трёх достаточно поставить знак; дальше надо объяснить масштаб и найти ошибку в рассуждении. Ответы расположены после заданий, чтобы можно было сначала проверить себя без подсказки.

1. Сравните −4 и −9.
2. Сравните −0,6 и −0,06.
3. Расположите по возрастанию числа 3, −2, 0, −5, 1.
4. Между 0 и 1 на рисунке четыре клетки. На сколько клеток левее нуля надо поставить точку −2?
5. Ученик написал: «−10 > −2, потому что 10 > 2». Где ошибка?
6. Найдите число, противоположное −3,5, и сравните эти два числа.
7. Какая точка ближе к нулю: −7/8 или −1/2? Какое из этих чисел больше?

Ответы получаются из положения точек. В первом задании −4 > −9. Во втором −0,6 < −0,06: шесть десятых дальше влево, чем шесть сотых. В третьем порядок такой: −5, −2, 0, 1, 3. В четвёртом единица занимает четыре клетки, поэтому до −2 нужно пройти восемь клеток влево. В пятом сравнили модули вместо самих отрицательных чисел: верно −10 < −2. В шестом противоположное число +3,5, и −3,5 < 3,5. В седьмом −1/2 ближе к нулю и больше, чем −7/8.

Если ошиблись, нарисуйте короткую прямую для конкретной пары. Не требуется сразу строить весь ряд от −10 до 10: достаточно отметить 0, нужные деления и обе точки. Рисунок должен помогать вычислению, а не занимать полстраницы.

Типичные ошибки при построении и сравнении

Первая ошибка — менять длину единичного отрезка по ходу рисунка. От 0 до 1 у ученика две клетки, от 0 до −1 — одна. Такая прямая не позволяет правильно сравнивать расстояния. Выберите масштаб один раз и проверяйте симметрию отметок 1 и −1 относительно нуля.

Вторая ошибка — путать знак числа и знак действия. В записи −3 знак относится к числу. В выражении 5 − 3 знак между числами обозначает вычитание. Позже эти записи могут встретиться вместе, поэтому полезно сначала научиться читать каждую. Третья ошибка — считать, будто чем больше модуль отрицательного числа, тем оно больше. На прямой происходит обратное: −8 левее −2.

Четвёртая ошибка — приравнивать нуль к положительным или отрицательным числам. Нуль не относится ни к тем, ни к другим; он разделяет их на прямой. Пятая — сравнивать десятичные дроби по количеству цифр. Добавление нуля в конце дробной части не меняет число: −1,2 = −1,20.

Проверочный список

Перед сдачей посмотрите на рисунок и неравенства как на одну задачу. Если точки стоят правильно, знак сравнения можно проверить простым движением слева направо. Если результат не совпал с рисунком, исправьте не только знак, но и рассуждение, которое привело к ошибке.

• У прямой отмечен нуль и выбран одинаковый единичный отрезок.
• Положительное направление показано или понятно из подписей.
• Отрицательные числа отложены левее нуля.
• В каждом неравенстве большее число находится правее.
• Для отрицательных дробей я сравнил расстояния от нуля, а не длину записи.
• Нуль не назван положительным или отрицательным.

Координатная прямая полезна и в следующей теме — действиях с числами разных знаков. Но прежде чем складывать или вычитать, стоит уверенно представлять порядок: точка −3 правее −6 и левее нуля. Тогда направление движения при вычислении будет иметь смысл, а правила перестанут выглядеть случайными.