Периметр и площадь сложной фигуры из прямоугольников: как найти в 4 классе

Чем площадь отличается от периметра

Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Её измеряют квадратными сантиметрами, квадратными метрами и другими квадратными единицами. Периметр — это длина линии, идущей по границе фигуры. Для него используют сантиметры, метры и другие единицы длины. Даже если в вычислениях встретились одни и те же числа, писать в ответе «см» вместо «см²» нельзя: это разные величины.

Представьте клумбу необычной формы. Чтобы узнать, сколько газона нужно для её покрытия, ищут площадь. Чтобы оценить длину ограды вдоль края, ищут периметр. Если клумбу разделить воображаемой линией на два прямоугольника, эта линия поможет вычислить площадь, но ограда по ней не проходит. Поэтому прибавлять внутреннюю линию к периметру нельзя.

В начальной школе под сложной фигурой обычно понимают фигуру, составленную из нескольких прямоугольников или полученную вырезанием прямоугольника из другого. Такая фигура может напоминать букву Г или иметь прямоугольную выемку. Способ вычисления выбирают по рисунку и известным размерам, а не по одному только названию фигуры.

Сначала разберитесь с рисунком и размерами

Посмотрите, какие стороны горизонтальные, какие вертикальные и где проходит внешняя граница. Подпишите на чертеже все известные длины. Если одна из сторон не указана, попробуйте найти её вычитанием: длина целой стороны равна сумме последовательных отрезков, которые её составляют.

Например, верхняя сторона фигуры имеет длину 9 см и состоит из отрезков 4 см и неизвестной длины. Значит, второй отрезок равен 9 − 4 = 5 см. Если общая высота 7 см, а верхняя часть имеет высоту 3 см, нижняя часть будет высотой 7 − 3 = 4 см. Запишите найденные размеры рядом с рисунком до того, как начнёте складывать или умножать.

В прямоугольной фигуре длина всего пути вправо равна длине всего пути влево; то же верно для движения вверх и вниз. Это помогает восстановить пропущенную сторону, но проверять надо именно соответствующие отрезки. Нельзя отнимать горизонтальный размер от вертикального только потому, что оба числа стоят рядом на картинке.

Если размеры даны в разных единицах, сначала переведите их в одну. Сторону 1 м и сторону 40 см нельзя напрямую перемножать и записывать ответ в см². Удобно перевести 1 м в 100 см, а затем считать 100 × 40 = 4000 см². Для периметра также сложите длины только после перевода.

Способ 1. Разделите фигуру на прямоугольники

Проведите на рисунке одну прямую линию от внутреннего угла до края. Часто этого достаточно, чтобы получить два прямоугольника. Для каждого вычислите площадь по правилу «длина × ширина», а затем сложите площади. Части не должны перекрываться и вместе должны покрывать всю исходную фигуру.

Представим фигуру в виде буквы Г. Левая вертикальная полоса имеет ширину 3 см и высоту 6 см. Справа к её нижней части примыкает прямоугольник шириной 5 см и высотой 2 см. Первая часть занимает 3 × 6 = 18 см², вторая — 5 × 2 = 10 см². Площадь всей фигуры равна 18 + 10 = 28 см².

Здесь важно, что ширина правой части — именно 5 см, а не общая ширина фигуры. Общая ширина составляет 3 + 5 = 8 см. Если умножить 8 × 2 для нижней полосы и затем прибавить 3 × 6, прямоугольник 3 × 2 см в углу окажется посчитан дважды. Такой подсчёт можно исправить, но лучше сразу выбирать части без наложений.

Ту же букву Г можно разделить по-другому: выделить нижний прямоугольник размером 8 × 2 см и верхний левый размером 3 × 4 см. Тогда 8 × 2 + 3 × 4 = 16 + 12 = 28 см². Результаты совпали, хотя линии разделения были разными. Это хорошая проверка расчёта.

Способ 2. Достройте до прямоугольника и вычтите пустоту

Если на рисунке хорошо виден большой прямоугольник с отсутствующим углом, удобно сначала найти площадь целого прямоугольника. Затем вычислите площадь вырезанного участка и вычтите её. Такой способ особенно короток, когда внешние размеры и размеры выемки уже подписаны.

Для предыдущей фигуры внешний прямоугольник имеет размеры 8 × 6 см, а пустой верхний правый угол — 5 × 4 см. Площадь целого прямоугольника равна 48 см², пустого — 20 см². Значит, площадь фигуры равна 48 − 20 = 28 см². Мы снова получили тот же результат, что и при разбиении на части.

Пустоту нужно определять по рисунку, а не на глаз. Если общая высота 6 см, а нижняя полоса высотой 2 см, высота выемки равна 6 − 2 = 4 см. Если общая ширина 8 см, а левая полоса шириной 3 см, ширина выемки равна 8 − 3 = 5 см. Только после этого можно записывать 5 × 4.

Иногда внутри фигуры не один вырезанный угол, а прямоугольная выемка посередине стороны. Тогда из площади большого прямоугольника тоже можно вычесть площадь выемки. Проверьте, что вычитаемый участок действительно не относится к фигуре и что никакая часть не была вычтена дважды.

Как найти периметр: пройдите по внешнему краю

Возьмите карандаш и мысленно обведите фигуру, начиная с любой вершины. Записывайте длину каждого отрезка внешней границы по порядку, пока не вернётесь в исходную точку. Затем сложите записанные числа. Линия, которой вы делили фигуру для поиска площади, внутренняя: при обходе края вы по ней не идёте.

Для нашей фигуры в виде буквы Г стороны внешней границы идут так: 8 см вправо по нижнему краю, 2 см вверх, 5 см влево до внутреннего угла, 4 см вверх, 3 см влево и 6 см вниз. Периметр равен 8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 6 = 28 см. Здесь случайно получилось то же число, что и площадь, но единицы измерения разные: 28 см и 28 см².

Можно проверить себя без нового рисунка. Горизонтальные стороны дают 8 + 5 + 3 = 16 см, вертикальные — 2 + 4 + 6 = 12 см. Их сумма 16 + 12 = 28 см. Ещё одна проверка: путь вправо составляет 8 см, путь влево — 5 + 3 = 8 см; путь вверх — 2 + 4 = 6 см, путь вниз — 6 см. Обход замкнулся.

Не применяйте к любой составной фигуре формулу 2 × (длина + ширина). Она относится к прямоугольнику. У некоторых фигур с вырезанным именно углом периметр совпадёт с периметром внешнего прямоугольника, но это следует из равенства заменённых отрезков, а не из того, что сложная фигура стала прямоугольником.

Почему выемка иногда увеличивает периметр, а иногда нет

Рассмотрим два разных рисунка. Первый — прямоугольник 8 × 6 см, у которого в углу убрали прямоугольник 3 × 2 см. С внешней границы исчезли отрезки длиной 3 и 2 см, но вместо них появились внутренние стороны выреза такой же длины. Периметр остаётся равным 2 × (8 + 6) = 28 см. Площадь уменьшается: 48 − 6 = 42 см².

Второй рисунок — прямоугольник 9 × 5 см с выемкой шириной 3 см и глубиной 2 см посередине верхней стороны. В верхней границе исчез отрезок длиной 3 см, а внутри выемки появился горизонтальный отрезок той же длины и две вертикальные стороны по 2 см. Поэтому периметр увеличился на 2 + 2 = 4 см: 2 × (9 + 5) + 4 = 32 см. Площадь стала 9 × 5 − 3 × 2 = 39 см².

Эти примеры показывают, почему опасно судить о периметре только по площади. В обоих случаях часть площади убрали, но внешняя граница изменилась по-разному. Надёжный способ — обвести край и сложить его отрезки. Короткое правило про выемку полезно как проверка, когда рисунок уже понятен.

Что делать, если на чертеже не хватает стороны

Недостающую длину часто находят вычитанием из общей ширины или высоты. Не торопитесь подставлять число в формулу: сначала уточните, какую часть целой стороны занимает неизвестный отрезок. Обозначьте его вопросительным знаком, рядом запишите равенство частей, затем найдите длину.

Допустим, у фигуры общая ширина 12 см. Нижняя сторона состоит из отрезков 5 см и неизвестного. Тогда неизвестный горизонтальный отрезок равен 12 − 5 = 7 см. Если высота всей фигуры 9 см, а нижняя часть имеет высоту 4 см, верхний вертикальный отрезок равен 9 − 4 = 5 см. Теперь можно разделить фигуру на прямоугольники 5 × 9 и 7 × 4 и получить площадь 45 + 28 = 73 см².

Для периметра этой же буквы Г обойдём края: 12 + 4 + 7 + 5 + 5 + 9 = 42 см. Проверим направление: вправо 12 см, влево 7 + 5 = 12 см; вверх 4 + 5 = 9 см, вниз 9 см. Если суммы не совпали, вероятно, пропущена сторона или перепутан её размер.

Бывает, что данных недостаточно. Если на рисунке нет общей ширины, ширины частей и клетчатой сетки с масштабом, длину некоторых сторон определить нельзя. В такой ситуации не нужно придумывать размер «примерно по картинке». Уточните условие или укажите, какой величины не хватает для однозначного ответа.

Разбор задачи с клетчатым рисунком

На клетчатой бумаге площадь можно сначала найти подсчётом клеток, а затем проверить формулой. Пусть одна клетка имеет сторону 1 см. Фигура состоит из верхнего прямоугольника 6 клеток в длину и 2 клетки в высоту и нижнего прямоугольника 4 клетки в длину и 3 клетки в высоту. Они соприкасаются по стороне и не накладываются друг на друга. Площадь равна 6 × 2 + 4 × 3 = 24 см².

Для периметра одного знания площадей недостаточно: важно, как именно расположены прямоугольники и сколько клеток составляет их общая сторона. Если нижний прямоугольник расположен прямо под левыми четырьмя клетками верхнего, длина общей стороны равна 4 см. Периметры частей по отдельности: 2 × (6 + 2) = 16 см и 2 × (4 + 3) = 14 см. Общая сторона попала в эту сумму дважды, хотя она внутренняя. Уберём оба подсчёта: 16 + 14 − 2 × 4 = 22 см.

Здесь можно применить ещё один способ проверки: обвести общую фигуру по клеткам и сосчитать единичные отрезки на внешней границе. Если получается не 22, вернитесь к расположению частей. При другом соединении тех же прямоугольников площадь останется 24 см², а периметр может измениться.

Типичные ошибки и способы их заметить

Ошибка с площадью часто возникает, когда части перекрываются или между ними оставлен незамеченный участок. После разбиения закрасьте каждую часть мысленно своим цветом: вся фигура должна быть покрыта один раз. Если считаете вычитанием, проверьте, что удаляемый прямоугольник целиком находится в пределах большого и действительно отсутствует на исходном рисунке.

Ошибка с периметром возникает, когда ученик складывает периметры всех частей без поправки на общие стороны. Общая сторона при таком сложении учтена два раза, но во внешнюю границу не входит ни разу. Если части соединены по отрезку длиной 4 см, из суммы двух периметров нужно вычесть 2 × 4 см. Для нескольких частей проще сразу обойти внешний контур.

Ещё одна ошибка — подмена единиц. Для площади прямоугольника 3 см × 5 см ответ 15 см², для его периметра 2 × (3 + 5) = 16 см. Сравните единицу в вопросе и ответе. Число без единицы не показывает, найдено ли покрытие фигуры или длина её границы.

Потренируйтесь самостоятельно

Решайте задачи сначала на черновике и только затем сверяйтесь с ответами. Для каждой нарисуйте схему, подпишите известные размеры, найдите пропущенные стороны и отдельно запишите площадь и периметр. Если использовали разбиение на части, проверьте площадь способом вычитания там, где это возможно.

1. Из прямоугольника 10 × 7 см вырезали прямоугольник 4 × 3 см в верхнем правом углу. Найдите площадь и периметр оставшейся фигуры.
2. Фигура в виде буквы Г состоит из вертикальной полосы 2 × 8 см и примыкающего к её нижней части прямоугольника 6 × 3 см. Найдите площадь. Затем определите периметр по внешней границе.
3. В прямоугольнике 12 × 6 см посередине верхней стороны сделана выемка шириной 4 см и глубиной 2 см. Найдите площадь и периметр.
4. Прямоугольники 5 × 3 см и 4 × 2 см соприкасаются по стороне длиной 2 см и не перекрываются. Найдите площадь и периметр общей фигуры.

Ответы полезны только вместе с ходом решения. Если число не совпало, проверьте рисунок, стороны выемки и единицы измерения, а не меняйте знак действия наугад.

1. Площадь: 10 × 7 − 4 × 3 = 58 см². Угловой вырез заменяет на границе две стороны равными отрезками, поэтому периметр: 2 × (10 + 7) = 34 см.
2. Площадь: 2 × 8 + 6 × 3 = 34 см². Внешняя ширина 2 + 6 = 8 см, незанятая сверху высота 8 − 3 = 5 см. Периметр: 8 + 3 + 6 + 5 + 2 + 8 = 32 см.
3. Площадь: 12 × 6 − 4 × 2 = 64 см². Периметр большого прямоугольника 2 × (12 + 6) = 36 см, две стороны выемки добавляют 2 × 2 = 4 см. Ответ: 40 см.
4. Площадь: 5 × 3 + 4 × 2 = 23 см². Периметры отдельных частей равны 16 и 12 см. Общая сторона длиной 2 см посчитана дважды, поэтому общий периметр: 16 + 12 − 2 × 2 = 24 см.

Как проверить готовое решение

В правильном решении видно, откуда взялось каждое число. Если нашли неизвестную сторону, запишите вычитание рядом с чертежом. Для площади укажите размеры прямоугольников, которые складывали или вычитали. Для периметра покажите обход внешних сторон или объясните, какая общая сторона была исключена. Такой порядок помогает обнаружить ошибку даже тогда, когда ответ случайно совпал с верным.

Проверьте ещё три вещи: нет ли в записи смешения сантиметров и метров, соответствует ли единица ответа вопросу задачи и не пропущен ли отрезок вокруг выемки. Площадь должна быть меньше площади внешнего прямоугольника, если из него вырезали часть. Периметр не обязан уменьшаться вместе с площадью — это зависит от формы выреза.

Если задача оказалась трудной из-за умножения больших чисел, сначала отдельно повторите запись умножения столбиком. В самой геометрической задаче главное — понять рисунок и выбрать, какие длины действительно нужны.