Подобие треугольников: как выбрать признаки

Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером и положением. Один может быть повернут или зеркально расположен относительно другого. Поэтому совпадение внешнего вида на рисунке не является доказательством, а различная ориентация не опровергает подобие.

Равенство треугольников — частный случай подобия с коэффициентом 1. Для подобия не требуется равенство всех длин: достаточно одинакового отношения между соответствующими сторонами. Важно понять, какая вершина и какая сторона одного треугольника соответствуют другой фигуре.

Если в задании нужно доказать совпадение соответствующих размеров, применяются признаки равенства треугольников. Для доказательства подобия одинаковое значение отношения сторон может отличаться от единицы, поэтому формулировки признаков нужно сохранять точно.

Как установить соответствие вершин

Запись ABC ∼ DEF означает A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Тогда сторона AB соответствует DE, BC — EF, AC — DF. Порядок букв несёт информацию и должен совпадать с доказанными равенствами углов.

Предположим, угол A равен углу E, угол B равен углу D, угол C равен углу F. В таком случае нужно записать ABC ∼ EDF, а не ABC ∼ DEF. Соответствующие стороны будут AB ↔ ED, BC ↔ DF, AC ↔ EF.

Для проверки составьте маленькую таблицу. Она особенно полезна, если треугольники повёрнуты или имеют общую вершину: зрительное впечатление «левый угол к левому» может не совпасть с математическим соответствием.

В задачах по трём сторонам равные отношения помогают установить соответствие. Если стороны одного треугольника равны 3, 4, 5, а другого — 6, 8, 10, то короткая сторона соответствует короткой, средняя — средней, длинная — длинной. Однако в окончательном решении всё равно нужно назвать стороны по буквам, а не оставить только слова «меньшая» и «большая».

Первый признак: по двум углам

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны. Третий угол автоматически совпадёт, поскольку сумма углов каждого треугольника равна 180°.

Этот признак удобно выбирать, когда на чертеже есть параллельные прямые, вертикальные углы, прямые углы или общие углы двух треугольников. Но каждое равенство нужно обосновать: указать условие, свойство параллельных прямых или другой известный факт.

Например, у треугольника ABC углы A = 40° и B = 60°, а у DEF углы D = 40° и E = 60°. Получаем A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F, поэтому ABC ∼ DEF по двум углам. Третий угол равен 80° в каждой фигуре, но вычислять его для применения признака необязательно.

Одного общего угла недостаточно. Из точки A можно провести много разных треугольников внутри одного угла, и они не будут все подобны. Для первого признака нужна ещё одна пара равных углов; для другого признака потребуются подходящие отношения сторон.

Второй признак: две стороны и угол между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, треугольники подобны. Слова «между ними» существенны: нельзя взять произвольный равный угол из рисунка.

Пусть AB = 6, AC = 9, DE = 4, DF = 6 и угол A равен углу D. Проверяем отношения AB/DE = 6/4 = 3/2 и AC/DF = 9/6 = 3/2. Угол A образован сторонами AB и AC, угол D — сторонами DE и DF. Все условия признака выполнены, поэтому ABC ∼ DEF.

Если известно равенство углов B и E, тех же отношений AB/DE и AC/DF уже недостаточно для применения этого признака: равные углы не лежат между выбранными сторонами. Возможно, подобие удастся доказать другим способом, но автоматически делать вывод нельзя.

Не заменяйте пропорциональность равенством сумм или разностей. Числа 6 и 9 больше чисел 4 и 6 на 2 и 3, а не на одинаковую добавку; главное здесь — единый множитель 3/2. Подобие связано с масштабированием, а не с прибавлением одинаковой длины к каждой стороне.

Третий признак: по трём сторонам

Если все три стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого, треугольники подобны. Для применения признака нужно проверить три отношения, а не остановиться после двух совпавших.

Возьмём стороны 5, 7, 8 и 10, 14, 16. Отношения равны: 5/10 = 7/14 = 8/16 = 1/2. Следовательно, треугольники подобны. Если последний размер второго треугольника заменить на 15, третье отношение станет 8/15 и не совпадёт с первыми двумя: этот признак уже не выполнен.

Перед сравнением убедитесь, что указанные длины могут образовать треугольник. Например, 2, 3 и 6 не подходят: сумма двух меньших сторон меньше третьей. Нельзя доказывать подобие фигур, существование которых противоречит неравенству треугольника.

Проверить пропорцию можно перекрёстным умножением. Для равенства 5/10 = 7/14 сравниваем 5 · 14 и 7 · 10: обе величины равны 70. Такой приём помогает работать с дробными отношениями без преждевременного округления.

Как выбрать признак по данным

Сначала перечислите известные углы и стороны. Затем ищите полный набор условий одного признака. Если данных для него не хватает, не дополняйте рисунок предположениями о длинах или углах «на глаз».

Иногда подходят два признака. Можно выбрать тот, для которого доказательство короче и все данные явно указаны. Удлинять решение дополнительными вычислениями не требуется, если один полный признак уже установлен.

Разбор: отрезок параллелен стороне

В треугольнике ABC точка D лежит на AB, точка E — на AC, причём DE параллелен BC. Даны AD = 4, AB = 10, AC = 15, BC = 12. Найдём AE и DE.

У треугольников ADE и ABC общий угол A. Углы ADE и ABC равны как соответственные при параллельных DE и BC и секущей AB. Значит, ADE ∼ ABC по двум углам. Соответствие вершин A ↔ A, D ↔ B, E ↔ C задаёт отношения AD/AB = AE/AC = DE/BC.

Коэффициент меньшего треугольника к большему равен 4/10 = 2/5. Поэтому AE = 15 · 2/5 = 6, DE = 12 · 2/5 = 24/5 = 4,8. Ответы меньше соответствующих сторон большого треугольника, что согласуется с расположением D и E на его сторонах.

Нужно различать AB и DB. В условии AD = 4 и AB = 10, поэтому DB = 6. В пропорции AD/AB используются отрезок от общей вершины и вся сторона, а не два оставшихся участка. Запись AD/DB = AE/AC не следует из установленного соответствия.

Разбор: коэффициент и неизвестная сторона

Треугольники ABC и DEF подобны в указанном порядке. Известны AB = 8, DE = 12, BC = 10. Нужно найти EF. Поскольку порядок уже задан, AB соответствует DE, а BC — EF.

Коэффициент второго треугольника к первому равен DE/AB = 12/8 = 3/2. Значит, EF = BC · 3/2 = 15. Можно решить и через отношение первого к второму: 8/12 = 10/EF. Перекрёстное умножение даёт 8EF = 120, затем EF = 15.

Оба способа правильны, если направление отношения сохраняется. Ошибка возникает, когда коэффициент берут как 8/12, а затем умножают на него сторону первого треугольника, пытаясь получить сторону второго. Сначала подпишите словами, какую фигуру увеличиваете или уменьшаете.

Периметры и площади

Если коэффициент подобия второго треугольника к первому равен k, каждая сторона второго в k раз больше соответствующей стороны первого. Поэтому периметр также умножается на k. Площадь умножается на k², поскольку изменяются два линейных размера.

При k = 3 периметр 14 превращается в 42, а площадь 8 — в 72. При k = 1/2 периметр уменьшается вдвое, площадь — вчетверо. Записывайте, что сравнивается: длины, периметры или площади.

Если дано отношение площадей 9 : 16, отношение соответствующих сторон равно 3 : 4. Берём положительный квадратный корень, потому что длины положительны. Коэффициенты −3/4 или 9/16 для отношения длин здесь неверны.

Отношение периметров можно использовать для нахождения коэффициента уже известных подобных треугольников. Однако равные отношения площадей или одинаковые периметры сами по себе не являются признаками подобия: у фигур с разной формой тоже могут совпасть такие значения.

Самостоятельные задания

В каждом доказательстве сначала укажите признак, затем порядок соответствия. В вычислительных задачах запишите хотя бы одну пропорцию или явно подпишите направление коэффициента.

1. У первого треугольника два угла равны 35° и 70°, у второго — 70° и 75°. Подобны ли треугольники?
2. AB = 6, AC = 9, DE = 4, DF = 6, угол A равен углу D. Какой признак подходит и чему равно отношение ABC к DEF?
3. Стороны треугольников равны 3, 4, 5 и 6, 8, 10. Проверьте подобие.
4. Стороны равны 3, 4, 5 и 6, 8, 11. Подобны ли треугольники?
5. ABC ∼ EDF. Какая сторона соответствует AC? А BC?
6. ABC ∼ DEF, AB = 8, DE = 12, BC = 10. Найдите EF.
7. DE параллелен BC, D лежит на AB, E — на AC. AD = 4, AB = 10, AC = 15, BC = 12. Найдите AE и DE.
8. Коэффициент второго подобного треугольника к первому равен 3. Периметр первого — 14. Найдите периметр второго.
9. При том же коэффициенте 3 площадь первого треугольника равна 8. Найдите площадь второго.
10. Площади двух подобных треугольников относятся как 9 : 16. Как относятся соответствующие стороны?
11. Для доказательства известны AB/DE = AC/DF и равенство углов B и E. Достаточно ли этого для признака по двум сторонам и углу между ними?
12. Два прямоугольных треугольника имеют по острому углу 32°. Докажите подобие и найдите оставшийся острый угол.

Если ответ о неподобии основан на сторонах, убедитесь, что проверяли соответствующие стороны, а не случайное сопоставление. Для двух наборов разносторонних треугольников удобно сначала упорядочить длины от меньшей к большей.

Ответы и объяснения

Сравните основания вывода. Правильное число без корректного соответствия может появиться случайно, особенно когда несколько длин одинаковы.

1. Да, по двум углам. Третий угол первого треугольника равен 75°, второго — 35°. У обоих набор углов 35°, 70°, 75°. Соответствие устанавливаем по равным величинам.
2. По двум сторонам и углу между ними; отношение 3/2. AB/DE = 6/4 = 3/2, AC/DF = 9/6 = 3/2. Равные углы A и D находятся между этими сторонами.
3. Да, по трём сторонам. 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2.
4. Нет. При сопоставлении по возрастанию первые два отношения равны 1/2, третье 5/11 с ними не совпадает. Другой порядок не исправит пропорциональность: при подобии порядок длин сохраняется.
5. AC ↔ EF, BC ↔ DF. Из записи следует A ↔ E, B ↔ D, C ↔ F.
6. 15. Второй треугольник больше первого в 12/8 = 3/2 раза; EF = 10 · 3/2.
7. AE = 6, DE = 4,8. ADE ∼ ABC по двум углам. Коэффициент малого к большому — 2/5; умножаем AC и BC на него.
8. 42. Периметр изменяется в той же пропорции, что и стороны: 14 · 3.
9. 72. Площадь изменяется в 3² = 9 раз: 8 · 9.
10. 3 : 4. Для длин берём положительный квадратный корень из отношения площадей 9/16.
11. Нет, этот признак не установлен. Угол между AB и AC — A, между DE и DF — D. Равенство B и E не заменяет требуемого равенства A и D. Нужны дополнительные сведения или другое доказательство.
12. Подобны по двум углам; оставшийся острый угол 58°. В обоих есть угол 90° и угол 32°, а третий равен 180° − 90° − 32°.

Проверочный список

После решения посмотрите на запись без рисунка. Из неё должно быть понятно, какие фигуры сравниваются, почему они подобны и откуда взята пропорция.

• Все равенства углов обоснованы, а не определены по внешнему виду.
• Для выбранного признака выполнен полный набор условий.
• При втором признаке равен именно угол между выбранными сторонами.
• В записи подобия сохранён порядок соответствующих вершин.
• В каждой пропорции сопоставлены соответствующие стороны.
• Направление коэффициента не изменилось посередине вычисления.
• Отрезок стороны не перепутан со всей стороной.
• Площадь изменена по квадрату коэффициента, периметр — по самому коэффициенту.

Задача на подобие становится понятнее, когда доказательство и вычисления выполняются по очереди. Сначала установите соответствие и признак, затем найдите масштаб и только после этого неизвестную длину или площадь. Такой порядок позволяет объяснить каждый шаг и не зависеть от того, насколько точно нарисованы треугольники.