Решение уравнений с дробями: пошаговый разбор для 6 класса

Что означает дробь в уравнении

Запись x/4 означает, что число x разделили на 4. Если x/4 = 3, искомое число равно 12, потому что 12 : 4 = 3. Такую запись можно читать и как «четверть числа x». В уравнении (x + 2)/4 = 3 на 4 разделена вся сумма x + 2, а не только двойка. Скобки здесь меняют смысл выражения.

Дробь 3x/4 можно понимать как три четверти числа x: сначала x умножили на 3, затем разделили на 4. Если 3x/4 = 6, то 3x = 24, откуда x = 8. Проверка возвращает нас к исходной строке: 3 × 8 / 4 = 6. Умение проговорить действие словами помогает не перепутать числитель и знаменатель.

Перед решением посмотрите на знаменатели. В обычных заданиях 6 класса это известные числа: 2, 3, 5, 10. Нуль в знаменателе стоять не может. Если в знаменателе находится сама буква, появляются ограничения на её значения; такие задания требуют отдельного разбора. Ниже речь идёт об уравнениях с числовыми ненулевыми знаменателями.

Самый короткий случай: неизвестное делят на число

В уравнении x/5 = 4/5 знаменатели равны. Равенство выполняется при x = 4. Можно умножить обе части на 5: x = (4/5) × 5 = 4. Умножение сразу показывает, почему знаменатель исчезает, и работает даже тогда, когда дроби справа и слева разные.

Например, x/6 = 2/3. Умножаем обе части на 6 и получаем x = 6 × 2/3 = 4. Другой путь — привести 2/3 к знаменателю 6: 2/3 = 4/6, значит, x = 4. Оба пути дают одно и то же число. Если после умножения на 6 получилось 12/3, полезно сначала сократить 6 и 3, а затем вычислить 2 × 2.

Когда дробный коэффициент стоит перед буквой, например (2/3)x = 4, делить нужно на 2/3. Разделить на дробь — значит умножить на обратную: x = 4 × 3/2 = 6. Проверка: две трети от 6 равны 4. Приём с обратной дробью относится ко всему коэффициенту 2/3, а не к одной его части.

Сложение и вычитание дробей с неизвестным

Если к дроби с буквой добавлено число, сначала отделите неизвестное слагаемое. В уравнении x/3 + 1/6 = 5/6 вычитаем 1/6 из обеих частей: x/3 = 4/6 = 2/3. Теперь умножаем на 3 и получаем x = 2. Можно проверить решение без сокращения: 2/3 = 4/6, поэтому 4/6 + 1/6 = 5/6.

В уравнении x/4 − 1/8 = 3/8 прибавляем 1/8 к обеим частям. Получается x/4 = 4/8 = 1/2, затем x = 2. Знак минус не «перепрыгивает» через знак равенства сам по себе: запись становится другой потому, что к обеим частям прибавили одно и то же число. Если держать в уме это действие, легче восстановить ход решения при проверке.

Иногда у чисел разные знаменатели. Для x/2 + 1/3 = 5/6 переведите 1/3 в шестые: 1/3 = 2/6. Тогда x/2 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2, значит, x = 1. Здесь нет необходимости приводить к общему знаменателю саму дробь x/2: после вычитания её удобно оставить как есть. Выбирайте преобразование, которое делает следующий шаг понятнее.

Как убрать знаменатели одним действием

В уравнении x/4 − x/6 = 1/3 буква встречается дважды. У всех дробей знаменатели 4, 6 и 3; их наименьшее общее кратное равно 12. Умножьте каждый член обеих частей на 12. Получится 3x − 2x = 4, то есть x = 4. Проверка: 4/4 − 4/6 = 1 − 2/3 = 1/3.

Фраза «каждый член» здесь существенна. Если в x/4 + 1/2 = 3/4 умножить на 4 только дробь с буквой, равенство испортится. Правильно: 4 × x/4 + 4 × 1/2 = 4 × 3/4, откуда x + 2 = 3 и x = 1. Умножение всего уравнения на ненулевое число сохраняет множество его решений, а выбор общего кратного избавляет от дробей.

Не обязательно брать именно наименьшее общее кратное. Для знаменателей 4 и 6 подойдёт и 24, но тогда числа в вычислениях будут крупнее. Число 12 сокращает запись и уменьшает вероятность ошибки. Если сначала не удаётся найти общее кратное, выпишите несколько кратных каждого знаменателя и найдите первое совпадение.

Скобки в числителе: два способа решения

Рассмотрим (x + 2)/3 = 5/3. Первый способ — умножить обе части на 3: x + 2 = 5, значит, x = 3. Второй — заметить одинаковые знаменатели и сравнить числители. Ответ тот же. Первый способ полезнее как общий алгоритм: он работает и при разных знаменателях.

Уравнение (2x − 1)/5 = 3/5 после умножения на 5 превращается в 2x − 1 = 3. Прибавляем 1 к обеим частям: 2x = 4, x = 2. Подстановка показывает, что (2 × 2 − 1)/5 = 3/5. Ошибка «2x − 1 = 15» возникает, когда ученик умножает правую часть на 5, забыв, что 3/5 уже содержит знаменатель 5.

Если справа другая дробь, одинаковых числителей ждать не нужно. Например, (x − 2)/4 = 3/8. Умножаем обе части на 8: 2(x − 2) = 3, затем 2x − 4 = 3, 2x = 7, x = 7/2. Можно выбрать другой путь: умножить на 4 и получить x − 2 = 3/2, после чего x = 7/2. Оба решения равноправны; проверка в исходном уравнении подтверждает 3/8.

Буква в обеих частях равенства

Когда x встречается слева и справа, уберите знаменатели, затем соберите слагаемые с буквой в одной части. Для (x + 2)/3 = (x − 1)/2 общим знаменателем служит 6. Умножение даёт 2(x + 2) = 3(x − 1). Раскрываем скобки: 2x + 4 = 3x − 3. Вычитаем 2x и прибавляем 3: x = 7. Проверка: (7 + 2)/3 = 3 и (7 − 1)/2 = 3.

Перекрёстное умножение дробей тоже приводит к 2(x + 2) = 3(x − 1), но оно допустимо потому, что обе части представляют собой дроби с ненулевыми знаменателями. Умножение всего равенства на 6 показывает основание этого действия. Так проще контролировать скобки и не запоминать отдельное правило для каждого вида записи.

Бывает, что после преобразования буква исчезает. Например, x/2 + 1 = (x + 2)/2 после умножения на 2 даёт x + 2 = x + 2. Равенство верно при любом x: каждое число является решением. А уравнение x/2 + 1 = x/2 + 2 приводит к 1 = 2, что невозможно; решений нет. Не пытайтесь «найти x», если на последнем шаге буквы уже не осталось: оцените полученное числовое равенство.

Десятичные дроби и смешанные числа

Десятичная дробь подчиняется тем же правилам равенства. В уравнении 0,25x + 0,5 = 1,25 вычтите 0,5: 0,25x = 0,75. Разделите на 0,25 и получите x = 3. Можно перевести числа в обыкновенные дроби: 0,25 = 1/4, 0,5 = 1/2, 1,25 = 5/4. Выбирайте форму, в которой вам легче считать без округления.

Смешанное число сначала удобно превратить в неправильную дробь. Например, x/2 + 1 1/4 = 2. Поскольку 1 1/4 = 5/4, а 2 = 8/4, получаем x/2 = 3/4 и x = 3/2. Проверка: 3/4 + 5/4 = 8/4 = 2. Запись смешанного числа «1 1/4» означает 1 + 1/4, а не произведение 1 × 1/4.

Если коэффициенты десятичные, можно умножить всё уравнение на 10 или 100. Из 0,3x + 0,2 = 1,1 после умножения на 10 выходит 3x + 2 = 11, значит, x = 3. Это удобно, когда все десятичные дроби конечные и число знаков после запятой невелико. Умножать нужно каждый член, включая свободное число справа.

Как записать решение в тетради

В разборе важно не только получить число, но и показать, откуда взялось каждое преобразование. Записывайте по одному осмысленному шагу в строке. Тогда учитель и вы сами сможете увидеть, на каком этапе возникла ошибка, если проверка не совпадёт.

Для уравнения x/6 + 1/2 = 5/6 решение можно оформить так: сначала x/6 = 5/6 − 1/2; затем x/6 = 5/6 − 3/6 = 2/6; далее x = 2. Проверка: 2/6 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6. Писать только «x = 2» недостаточно, если задание просит ход решения.

При умножении на общий знаменатель полезно оставить промежуточную строку. Для x/4 + x/2 = 9/4 напишите 4 × x/4 + 4 × x/2 = 4 × 9/4, затем x + 2x = 9, 3x = 9, x = 3. Эта строка защищает от типичной потери второго слагаемого. После нескольких упражнений её можно сокращать, но до уверенного навыка лучше показывать действие полностью.

Тренировка: решите и сверьте ход

Выполните задания по порядку: сначала отделение неизвестного слагаемого, затем дробный коэффициент и, наконец, выражения с несколькими дробями. Для каждого уравнения проверьте полученное число подстановкой в первоначальную запись. Ответы ниже нужны для самопроверки, а не для замены решения.

1. x/5 + 1/10 = 7/10.
2. (2/3)x = 4/9.
3. (x − 2)/4 = 3/8.
4. x/6 + x/3 = 5/2.
5. 0,25x + 0,5 = 1,25.
6. (x + 1)/3 = (x − 1)/2.

В первом задании x/5 = 6/10 = 3/5, поэтому x = 3. Во втором деление на 2/3 даёт x = (4/9) × (3/2) = 2/3. В третьем x − 2 = 3/2, значит, x = 7/2. В четвёртом x/6 + 2x/6 = 3x/6 = x/2; из x/2 = 5/2 следует x = 5. В пятом x = 3. В шестом после умножения на 6 получаем 2(x + 1) = 3(x − 1), откуда 2x + 2 = 3x − 3 и x = 5.

Для шестого ответа проверьте обе части: (5 + 1)/3 = 2 и (5 − 1)/2 = 2. Если у вас получилось другое число, раскройте скобки заново: множитель перед скобками относится ко всем её членам. В третьем задании ответ 7/2 можно записать как 3,5; при проверке формы числа не имеют значения, потому что обозначают одну величину.

Ошибки, которые показывает проверка

Чаще всего неверный ответ связан с действием только над одной частью равенства. Если из x/2 = 3/4 получить x = 3/8, значит, вместо умножения на 2 произошло деление. Верный ответ x = 3/2, поскольку (3/2)/2 = 3/4. Подстановка сразу обнаруживает такую ошибку.

Другая проблема — пропущенные скобки. Из (x + 2)/3 = 4 следует x + 2 = 12, а не x + 2 = 4/3. При умножении уравнения (x + 2)/3 = (x − 1)/2 на 6 должны появиться 2(x + 2) и 3(x − 1). Если написано 2x + 2 вместо 2x + 4, ошибка уже находится в раскрытии скобок.

Перед сдачей последовательно проверьте четыре вещи: одинаковое действие над обеими частями; каждый член при умножении на общий знаменатель; знаки при раскрытии скобок; значение исходных выражений после подстановки. Если левая и правая части совпали, ответ удовлетворяет уравнению. Эта проверка особенно важна при дробях: арифметическая ошибка может быть маленькой на вид, но полностью изменить найденное число.