Самостоятельная работа по процентам для 6 класса: два варианта с решениями

Один процент — одна сотая часть величины: 15% = 15/100 = 0,15. Если известны целое и процент, их умножают. Если известны процент и соответствующая ему часть, целое находят делением части на долю. При изменении величины сначала находят процент от исходного значения, затем прибавляют или вычитают его. Эти приёмы входят в школьную тему процентов в федеральной рабочей программе математики для 5–9 классов. Работы авторские; их удобно выполнять после изучения темы, оставив 15–20 минут на вариант.

Как определить 100% в условии

Подчеркните существительное рядом со словами «от числа», «от первоначальной цены», «всех книг» или «всей дистанции». Именно эта величина обычно равна 100%. Например, фраза «из 200 страниц прочитали 25%» означает, что 200 страниц — всё целое, а прочитанная часть равна 200 × 0,25 = 50 страниц. Другая фраза — «50 страниц составляют 25% книги» — задаёт часть и просит найти целое: 50 : 0,25 = 200 страниц.

Можно пользоваться и способом через 1%. Если 18% числа равны 54, то 1% равен 54 : 18 = 3, а 100% равны 3 × 100 = 300. Этот способ особенно удобен, когда процент целый, а число легко делится. Он даёт тот же результат, что и 54 : 0,18. Важно подписывать шаг: «3 единицы — это 1%», иначе запись 54 : 18 × 100 выглядит как случайная формула.

Вариант 1

1. Найди 15% от 240. Запиши процент десятичной дробью и покажи действие.

2. В школьной библиотеке 360 книг на выставке. Из них 25% посвящены природе. Сколько таких книг? Сколько книг посвящены другим темам?

3. 18% некоторого числа равны 54. Найди число двумя способами: через 1% и через десятичную дробь.

4. В кружке 12 учеников составляют 40% всех участников. Сколько всего участников?

5. Тетрадь стоила 80 рублей. Её цена выросла на 10%. Сколько стоит тетрадь теперь?

6. Куртка стоила 2 000 рублей. Цену снизили на 15% от первоначальной стоимости. Найди новую цену и размер снижения в рублях.

7. В группе 20 учеников, 5 из них подготовили плакаты. Какой процент группы подготовил плакаты? Что здесь принято за 100%?

8. Цена была 100 рублей. Сначала её повысили на 20%, затем новую цену снизили на 20%. Вернулась ли она к исходному значению? Покажи оба шага.

Вариант 2

1. Найди 35% от 200. Сначала запиши 35% десятичной дробью.

2. Из 480 страниц справочника 30% занимают иллюстрации и схемы. Сколько это страниц? Сколько страниц остаётся для остального материала?

3. 12% числа равны 30. Найди целое двумя способами.

4. На выставке 18 работ составляют 45% всех работ. Сколько работ всего?

5. Билет стоил 150 рублей. Его цена увеличилась на 20%. Какой стала цена?

6. Рюкзак стоил 1 600 рублей. Его цену уменьшили на 25% от первоначальной. Найди новую цену и величину снижения.

7. Из 40 посаженных семян взошли 30. Какой процент семян взошёл? Что составляет 100%?

8. Цена была 200 рублей. Сначала её снизили на 10%, затем новую цену повысили на 10%. Стала ли цена снова равна 200 рублям? Запиши два действия.

Решения варианта 1

1. 15% = 0,15. Вычисляем 240 × 0,15 = 36. Проверка оценкой: 10% от 240 — это 24, 5% — 12, вместе 36. Если получено 3,6 или 360, проверьте положение десятичной запятой.

2. 360 × 0,25 = 90 книг о природе. Остальные: 360 − 90 = 270 книг. Поскольку четверть всех книг — это 90, результат можно проверить делением 360 : 4. Число 270 соответствует 75%, что вместе с 25% даёт 100%.

3. Через 1%: 54 : 18 = 3, значит 100% = 3 × 100 = 300. Через долю: 18% = 0,18; 54 : 0,18 = 300. Проверка: 300 × 0,18 = 54. Здесь 54 — часть, поэтому умножать 54 на 0,18 для поиска целого нельзя.

4. 40% = 0,4; 12 : 0,4 = 30 участников. Проверка: 40% от 30 равно 12. Способ через 1% тоже возможен: 12 : 40 × 100 = 30.

5. Повышение: 80 × 0,10 = 8 рублей. Новая цена: 80 + 8 = 88 рублей. Здесь 100% — старые 80 рублей, а не новая цена.

6. Снижение: 2 000 × 0,15 = 300 рублей. Новая цена: 2 000 − 300 = 1 700 рублей. Можно сразу найти 85% старой цены: 2 000 × 0,85 = 1 700.

7. Вся группа, то есть 20 учеников, — 100%. Доля подготовивших плакаты: 5 : 20 = 0,25 = 25%. Нельзя делить 20 на 5: получится число «во сколько раз», а не искомая доля.

8. После повышения цена 100 + 100 × 0,20 = 120 рублей. Затем снижают уже 120 рублей на 20%: 120 × 0,20 = 24, новая цена 120 − 24 = 96 рублей. К исходным 100 рублям она не вернулась. Одинаковый процент применялся к разным основаниям.

Решения варианта 2

1. 35% = 0,35; 200 × 0,35 = 70. Проверка: 30% от 200 — 60, ещё 5% — 10.

2. 480 × 0,30 = 144 страницы со схемами и иллюстрациями. Остальные: 480 − 144 = 336 страниц. Можно проверить как 70% от 480: 480 × 0,70 = 336.

3. Через 1%: 30 : 12 = 2,5; 100% = 2,5 × 100 = 250. Через десятичную долю: 30 : 0,12 = 250. Проверка: 250 × 0,12 = 30.

4. 45% = 0,45. Всего 18 : 0,45 = 40 работ. Проверка: 40 × 0,45 = 18. Если попытаться делить 45 на 18, получится отношение процентов к работам, не соответствующее вопросу.

5. Повышение: 150 × 0,20 = 30 рублей. Новая цена 150 + 30 = 180 рублей.

6. Снижение: 1 600 × 0,25 = 400 рублей. Новая цена: 1 600 − 400 = 1 200 рублей. Четверть от 1 600 можно найти делением на четыре.

7. Все 40 семян — 100%. Взошедшие составляют 30 : 40 = 0,75 = 75%. Оставшиеся 10 семян составляют 25%, что подтверждает расчёт.

8. Сначала 200 − 200 × 0,10 = 180 рублей. Затем повышение считают от 180: 180 × 0,10 = 18 рублей, итог 180 + 18 = 198 рублей. Цена на 2 рубля меньше первоначальной. Вычитать и прибавлять «те же 20 рублей» ошибочно: второй процент относится к уже изменённой цене.

Проверочный список перед сдачей

Проверьте четыре вопроса. Что в задаче равно 100%? Ищется часть или целое? После повышения или снижения от какой величины берётся процент? В ответе указаны правильные единицы — рубли, страницы, работы, ученики или проценты? Для задач о цене сделайте оценку: после скидки результат должен быть меньше прежней цены, после повышения — больше. Для поиска целого проверьте, что найденное число больше известной части, если процент меньше 100.

Если в одной работе повторяются ошибки одного типа, не решайте сразу ещё десять похожих примеров. Возьмите один неверный ответ, восстановите, какое число принято за 100%, решите заново двумя способами и придумайте короткую задачу со своей величиной. Когда ребёнок способен объяснить основание процента, он сможет переносить правило на новые условия, а не угадывать действие по слову «скидка» или «часть».