Система уравнений: графический и алгебраический способы

Пара (3; 2) обозначает x = 3 и y = 2, если переменные в задании расположены в порядке x, y. Поменять числа местами нельзя: пара (2; 3) обычно описывает другую точку и может не подходить к системе.

Например, уравнение x + y = 5 выполняется для пар (0; 5), (1; 4), (3; 2) и многих других. Условие x − y = 1 выделяет среди них пару (3; 2). Именно необходимость выполнить оба условия отличает решение системы от решения одного отдельного уравнения.

Как понять, подходит ли пара чисел

Проверка состоит из двух независимых подстановок. Не нужно сначала преобразовывать систему: числа можно подставить непосредственно в исходные равенства. Для x + y = 5 и x − y = 1 проверим пару (3; 2).

Уравнение	Подстановка	Результат
x + y = 5	3 + 2 = 5	Верно
x − y = 1	3 − 2 = 1	Верно

Оба равенства верны, поэтому пара является решением. Для пары (4; 1) первое равенство верно, но второе даёт 3 = 1. Следовательно, эта пара не решает систему, хотя подходит к одному уравнению.

Если вместо x и y обозначены другие величины, сохраните их порядок в ответе. В задаче о тетрадях и альбомах полезнее дополнительно написать словами, что найдено: «тетрадь — 30 рублей, альбом — 50 рублей». Так читателю не придётся угадывать смысл двух чисел.

Графический способ: что означает общая точка

Каждое уравнение с двумя переменными задаёт множество точек на координатной плоскости. Для линейного уравнения ax + by = c при условии, что a и b не равны нулю одновременно, это множество является прямой. Общая точка двух прямых имеет координаты, удовлетворяющие обоим уравнениям.

Решим графически систему y = 2x − 1 и y = −x + 5. Обе записи уже выражают y через x, поэтому можно сразу выбрать по две точки для каждого графика. Через две различные точки проходит одна прямая.

График	Первая точка	Вторая точка
y = 2x − 1	(0; −1)	(2; 3)
y = −x + 5	(0; 5)	(2; 3)

Наносим точки на одну координатную плоскость и проводим две прямые. Они пересекаются в (2; 3). Проверка даёт 3 = 2 · 2 − 1 и 3 = −2 + 5 — оба равенства верны. Ответ: x = 2, y = 3.

Две точки из таблицы нужно соединять прямой, продолжая её в обе стороны. Нельзя оставить только короткие отрезки между выбранными точками и заключить, что пересечения нет: общая точка может находиться вне этих отрезков. При этом масштабы по осям должны быть подписаны, а единичные отрезки на каждой оси — одинаковыми по всей её длине.

Когда линия проходит между клетками, координаты с рисунка получают приблизительно. Например, пересечение может находиться при x = 2/3. Округлённая запись x ≈ 0,7 полезна для оценки, но точную дробь обычно устанавливают алгебраически. Рисунок помогает увидеть число решений и проверить направление вычислений, а не всегда заменить их.

Если нужно повторить построение прямой, используйте разбор линейной функции по двум точкам. В системе оба графика строят в одних координатах: две отдельные плоскости не показывают их общие точки.

Подстановка: как убрать одну переменную

Способ подстановки удобен, когда одно уравнение уже имеет вид y = выражение через x или когда переменную легко выразить без дробей. Выражение подставляют вместо этой переменной во второе уравнение, а первое сохраняют для обратного вычисления.

Решим систему y = 2x − 1 и 3x + y = 14. Первая строка сообщает, чему равно y, поэтому вместо y во второй строке можно поставить 2x − 1.

1. Подставляем: 3x + (2x − 1) = 14.
2. Приводим подобные: 5x − 1 = 14.
3. Находим x: 5x = 15, значит, x = 3.
4. Возвращаемся к первой строке: y = 2 · 3 − 1 = 5.
5. Проверяем исходные уравнения: 5 = 6 − 1 и 9 + 5 = 14.

Ответ — (3; 5). Если остановиться после x = 3, система решена не полностью: искомый объект — пара, поэтому нужно найти y. Само промежуточное уравнение содержит только x, но первоначальное задание требует значения обеих переменных.

Скобки важны, когда перед подставляемым выражением стоит коэффициент или минус. Для уравнения 2x − 3y = 7 при y = x − 4 нужно получить 2x − 3(x − 4) = 7. Запись 2x − 3x − 4 = 7 ошибочна: множитель −3 относится ко всему выражению x − 4.

Выражать переменную можно из любого уравнения. Из x + 2y = 9 удобно получить x = 9 − 2y. Делать выбор по правилу «всегда выражай y из первой строки» необязательно: иногда это создаёт лишние дроби и удлиняет решение.

Сложение: как исключить переменную

Способ сложения работает особенно быстро, если коэффициенты при одной переменной уже противоположны. Когда это не так, можно умножить каждое уравнение целиком на подходящее ненулевое число, чтобы добиться противоположных коэффициентов.

Возьмём систему 2x + 3y = 13 и 3x − 2y = 0. Коэффициенты 3 и −2 при y пока не уничтожают друг друга. Умножим первое уравнение на 2, второе на 3.

1. Получаем 4x + 6y = 26 и 9x − 6y = 0.
2. Складываем левые и правые части: 13x = 26.
3. Находим x = 2.
4. Подставляем во второе исходное уравнение: 6 − 2y = 0, значит, y = 3.
5. Проверяем: 4 + 9 = 13 и 6 − 6 = 0.

Ответ — (2; 3). Обратите внимание: умножали не только коэффициенты при переменных, но и правые части. Если оставить справа 13 вместо 26, первое равенство изменится и перестанет быть равносильным исходному.

При записи решения важно сохранить связь со вторым уравнением. Одно полученное равенство 13x = 26 само по себе не задаёт y. Для равносильной новой системы можно оставить одно исходное уравнение и заменить другое их суммой. Нельзя выкинуть обе строки и считать любое y подходящим.

Вместо сложения иногда удобнее вычитание. Для 5x + 2y = 19 и 3x + 2y = 13 вычитаем второе равенство из первого: 2x = 6, x = 3. Затем 9 + 2y = 13, y = 2. Это тот же принцип исключения переменной, только с одинаковыми коэффициентами.

Как выбрать способ без лишних вычислений

Все три способа описывают один и тот же набор решений, но объём работы различается. Перед вычислением посмотрите на структуру уравнений и выберите действие, которое проще выполнить без ошибок.

Вид системы	Удобное начало	Причина
y = 3x + 2; 2x + y = 17	Подстановка	Одна переменная уже выражена
x + 2y = 9; x − y = 3	Вычитание или подстановка	При x одинаковые коэффициенты; x легко выразить
4x + y = 11; 2x − y = 1	Сложение	y и −y сразу сокращаются
2x + 3y = 13; 3x − 2y = 0	Сложение после умножения	Можно получить +6y и −6y
Нужно показать число общих точек	Графический способ	Видны пересечение, параллельность или совпадение

Если условие требует конкретный способ, используйте его в основном решении. Другой способ может служить проверкой, но не заменяет требуемое оформление. Если способ не задан, выбирайте самый понятный для данной записи, а не самый длинный.

После исключения переменной обычно возникает линейное уравнение. Его основные преобразования разобраны в материале о линейных уравнениях с одной переменной. Дополнительный шаг в системе — восстановить вторую переменную и проверить оба условия.

Одно решение, ни одного или бесконечно много

Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными без общих точек или совпадать. Эти три случая соответствуют одному решению, отсутствию решений и бесконечному числу решений системы двух линейных уравнений.

Рассмотрим x + y = 4 и 2x + 2y = 10. Умножение первого уравнения на 2 даёт 2x + 2y = 8. Оно несовместимо со второй строкой, которая требует для того же выражения значение 10. При вычитании возникает 0 = 2 — неверное равенство. Решений нет. На рисунке это две параллельные различные прямые.

Теперь возьмём x + y = 4 и 2x + 2y = 8. Вторая строка в точности равна первой, умноженной на 2. При вычитании получаем 0 = 0. Решений бесконечно много, но это не любые пары: каждая должна удовлетворять x + y = 4.

Все решения второго примера можно записать как (t; 4 − t), где t — любое действительное число. Например, подходят (0; 4), (1; 3), (5; −1). Пара (2; 5) не подходит. Верное равенство 0 = 0 означает зависимость уравнений, а не исчезновение оставшегося условия.

Ситуации x = 2 и y = 3 дают вертикальную и горизонтальную прямые. Их тоже можно изобразить, хотя вертикальная прямая x = 2 не имеет вида y = kx + b. Они пересекаются в (2; 3). Не требуйте от каждого линейного уравнения обязательного деления на коэффициент при y: он может оказаться нулевым.

Задача из условия: что означают переменные

Три тетради и два альбома стоят 190 рублей, а две тетради и один альбом — 110 рублей. Требуется определить цену одного предмета каждого вида. Прежде чем составлять уравнения, зададим смысл переменных: x — цена тетради, y — цена альбома, обе цены в рублях.

Получаем систему 3x + 2y = 190 и 2x + y = 110. Умножим второе уравнение на 2: 4x + 2y = 220. Вычтем первое уравнение: x = 30. Из 2 · 30 + y = 110 следует y = 50.

Проверяем стоимость двух покупок: 3 · 30 + 2 · 50 = 190 и 2 · 30 + 50 = 110. Ответ: тетрадь стоит 30 рублей, альбом — 50 рублей. Значения положительны и соответствуют исходному смыслу, а не только алгебраическим равенствам.

В собственной задаче с другими числами начните с единиц измерения и названий неизвестных. Если одну переменную обозначить количеством предметов, а другую их ценой, выражение x + y может оказаться бессмысленным. Система должна сравнивать одинаковые величины: стоимость со стоимостью, длину с длиной, количество с количеством.

Система с прямой и параболой

В 9 классе встречаются и системы, в которых одно уравнение нелинейное. Общий смысл решения сохраняется: нужны все общие точки. Однако их число уже не ограничивается одним для двух различных графиков.

Решим y = x² и y = x + 2 подстановкой. В общей точке оба выражения равны одному y, поэтому x² = x + 2. Переносим всё в одну часть: x² − x − 2 = 0. Разложение (x − 2)(x + 1) = 0 даёт x = 2 или x = −1.

Для каждого x отдельно восстанавливаем y. При x = 2 получаем y = 4; при x = −1 получаем y = 1. Ответ — две пары: (2; 4) и (−1; 1). Нельзя смешать значения и записать (2; 1): координаты из разных решений не образуют новую общую точку.

Проверка подтверждает обе пары: 4 = 2² = 2 + 2 и 1 = (−1)² = −1 + 2. На рисунке прямая и парабола пересекаются дважды. Если график построен только возле x = 2, вторая точка может остаться за пределами рисунка; алгебраическое решение помогает её обнаружить.

Ошибки в решении и оформлении

Проверка в исходной системе обнаруживает большинство вычислительных ошибок, но некоторые ошибки меняют сам способ решения. Для них важно понять, какое условие потеряно или какое действие выполнено неверно.

Ошибка	Что произошло	Как исправить
Найден только x	Вторая переменная не восстановлена	Подставить x в удобное исходное уравнение
Пара проверена в одной строке	Не проверена одновременность условий	Выполнить две подстановки
Вместо −3(x − 4) записано −3x − 4	Множитель применён не ко всему выражению	Сохранить скобки, затем раскрыть их
Уравнение умножено слева, но не справа	Получено другое равенство	Умножить каждое слагаемое и правую часть
После сложения обе исходные строки отброшены	Потеряно условие для второй переменной	Сохранить одно уравнение для подстановки
Из 0 = 0 сделан вывод «любые x и y»	Не учтено оставшееся уравнение	Описать все пары, удовлетворяющие ему
При двух корнях найден один y	Потеряна одна общая точка	Восстановить y для каждого x
С рисунка записана точная дробь без проверки	Приближение выдано за точный результат	Проверить пару алгебраически

Если ответ не проходит проверку, не заменяйте числа подбором. Найдите первую строку, которая не следует из предыдущей: ошибку со знаком, неверное раскрытие скобок, потерянный множитель или арифметический промах. Такой разбор помогает решить следующую систему самостоятельно.

Задания для самостоятельной работы

В первых двух заданиях требуется понять смысл решения, а в остальных — применить методы. Перед вычислением подпишите выбранный способ. После получения ответа выполните подстановку в обе исходные строки.

1. Подходит ли пара (2; 3) к системе x + y = 5; 2x − y = 1? А пара (3; 2)?
2. Выберите удобный способ для системы y = 3x + 2; 2x + y = 17 и объясните выбор.
3. Решите подстановкой: x + y = 7; y = 2x − 2.
4. Решите сложением: 2x + y = 9; x − y = 3.
5. Решите после выравнивания коэффициентов: 2x + 3y = 12; 3x − 2y = 5.
6. Решите: 3x + 2y = 7; x − 2y = 1.
7. Найдите общую точку графиков y = x + 1 и y = −2x + 7. Подберите по две точки для построения.
8. Установите число решений: x + y = 4; 2x + 2y = 10.
9. Опишите все решения: x − y = 2; 3x − 3y = 6.
10. Решите: x = 2; 3x + y = 10.
11. Сумма двух чисел равна 18, первое на 4 больше второго. Составьте систему и найдите числа.
12. Найдите все пары для системы y = x²; y = x + 2. Объясните, почему нужны два отдельных значения y.

Для графического задания используйте одну координатную плоскость и подпишите масштаб. Если два метода дали разные ответы, проверка исходных уравнений поможет определить, в каком решении возникла ошибка.

Ответы и решения

Сверяйте пары с учётом порядка x, y. В заданиях без единственного решения важен способ записи множества: одного примера пары недостаточно для полного ответа.

1. (2; 3) подходит; (3; 2) не подходит. Для первой пары 2 + 3 = 5 и 4 − 3 = 1. Для второй 3 + 2 = 5, но 6 − 2 = 4, а не 1.
2. Подстановка; решение (3; 11). Первая строка уже выражает y. Получаем 2x + 3x + 2 = 17, затем x = 3 и y = 11.
3. (3; 4). Подставляем y: x + 2x − 2 = 7. Из 3x = 9 следует x = 3; затем y = 4.
4. (4; 1). Складываем строки: 3x = 12, x = 4. Во второй строке 4 − y = 3, значит, y = 1.
5. (3; 2). Умножаем первое уравнение на 2, второе на 3: 4x + 6y = 24; 9x − 6y = 15. Сумма даёт 13x = 39, x = 3. Из 6 + 3y = 12 получаем y = 2.
6. (2; 1/2). Сложение даёт 4x = 8, x = 2. Из 2 − 2y = 1 следует y = 1/2. Дробное значение допустимо: ограничения на целые числа не задано.
7. (2; 3). Приравниваем x + 1 = −2x + 7: 3x = 6. Для первой прямой можно взять (0; 1) и (2; 3), для второй — (0; 7) и (2; 3). Обе проходят через найденную общую точку.
8. Решений нет. Первое уравнение требует 2x + 2y = 8, второе — 10. Получаем противоречие 0 = 2; прямые параллельны и различны.
9. Бесконечно много: (t; t − 2), где t — любое действительное число. Вторая строка в три раза больше первой. Например, подходят (2; 0), (3; 1), (0; −2), но ответ нужно дать для всех t.
10. (2; 4). Из x = 2 следует 6 + y = 10. На рисунке вертикальная прямая x = 2 пересекает прямую y = 10 − 3x в этой точке.
11. 11 и 7. Обозначим первое число x, второе y: x + y = 18, x − y = 4. Сложение даёт 2x = 22, x = 11; y = 7. Проверяем сумму 18 и разность 4.
12. (−1; 1) и (2; 4). Из x² − x − 2 = 0 получаем x = −1 или x = 2. Для каждого корня свой y: соответственно 1 и 4. Это две разные точки, а не четыре сочетания координат.

Проверочный список

Окончательное решение должно объяснять не только вычисление, но и смысл найденной пары. Пройдите короткую проверку перед записью ответа, особенно если в ходе работы возникли дроби или исчезла переменная.

• У каждой переменной указан смысл, если задача составлена по тексту.
• При подстановке выражение заключено в скобки там, где требуется.
• При умножении уравнения изменены обе части целиком.
• После исключения переменной сохранено уравнение для восстановления второй.
• Найдены все пары, а не только один корень промежуточного уравнения.
• Каждая пара проверена в обоих исходных равенствах.
• Противоречие 0 = ненулевое число распознано как отсутствие решений.
• При тождестве 0 = 0 учтено оставшееся условие.
• Графическое приближение и точный алгебраический ответ различены.

Система связывает несколько условий, поэтому надёжное решение сохраняет их связь на каждом шаге. График показывает общие точки, алгебра находит их координаты, а подстановка в исходную запись подтверждает ответ. Когда эти три представления согласованы, результат можно не только записать, но и объяснить.