Вероятность события: кубик, карточки и дерево вариантов

В задачах с кубиком легко запомнить знаменатель 6 и начать подставлять его в любое решение. Однако два броска, выбор из стопки карточек и несимметричный предмет — разные опыты. Способ подсчёта зависит от условий, а не от знакомого слова в задании.

Полезная привычка — записывать, что считается одним исходом. Это может быть число на верхней грани, конкретная вытянутая карточка или упорядоченная пара результатов двух бросков. Когда исходы определены, числитель и знаменатель обычно можно проверить без сложных формул.

Опыт, исход и событие: в чём разница

Случайный опыт — действие, результат которого заранее не известен в выбранной модели. Исход — один возможный результат этого опыта. Событие — условие, которое может выполниться при одном или нескольких исходах.

Например, бросаем правильный шестигранный кубик один раз и смотрим на верхнюю грань. Исходами будут числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Событие «выпало чётное число» происходит при исходах 2, 4 и 6.

Слово «правильный» в условии означает, что все шесть результатов считаются равновозможными. Для повреждённого или специально утяжелённого кубика это предположение может не выполняться. Тогда простой подсчёт граней сам по себе не определяет вероятность.

В задачах с карточками обычно предполагают, что карточки одинаковы по размеру и хорошо перемешаны, а выбор сделан наугад. Каждая отдельная карточка тогда имеет одинаковую вероятность быть выбранной. Если одна надпись встречается несколько раз, соответствующее событие может быть вероятнее других.

Когда работает формула m/n

Формулу P(A) = m/n используют, когда есть конечный набор равновозможных исходов. Условия «конечный» и «равновозможный» важны вместе. Нельзя просто посчитать названия результатов, если эти результаты имеют разные шансы.

Пусть в коробке пять одинаковых карточек: три с буквой А и две с буквой Б. Возможных надписей только две, но вероятность буквы А не равна 1/2. Из пяти равновозможных карточек подходят три, значит, P(А) = 3/5.

Для проверки можно мысленно обозначить карточки А₁, А₂, А₃, Б₁, Б₂. Эти обозначения не меняют опыт, а помогают различить физические предметы. Теперь видно, почему знаменатель равен пяти.

Общий порядок решения удобнее выполнять письменно. Короткие подписи позволяют заметить, что считается в числителе и знаменателе, прежде чем дробь будет сокращена.

1. Опишите опыт: что выбираем, сколько раз и возвращаем ли предмет после выбора.
2. Определите отдельный исход и перечислите все исходы либо посчитайте их понятным способом.
3. Проверьте, что выбранные исходы равновозможны по условию.
4. Выделите исходы, подходящие под событие.
5. Запишите дробь m/n, сократите её и проверьте границы результата.

Если условие о равновозможности не выполняется, нужно знать вероятности отдельных исходов или использовать другой способ. В школьной задаче это часто означает, что данных для числового ответа недостаточно.

Один бросок кубика: три разобранных примера

У правильного кубика шесть равновозможных результатов. Чтобы найти вероятность, выпишите числа, подходящие под условие. Так проще отличить похожие формулировки: «больше трёх» не включает тройку, а «не меньше трёх» включает.

Пример 1. Выпало чётное число. Подходят 2, 4 и 6. Числитель равен 3, знаменатель — 6. Получаем P = 3/6 = 1/2 = 50%.

Пример 2. Выпало число больше четырёх. Подходят 5 и 6. Поэтому P = 2/6 = 1/3. Дробь 1/3 нельзя точно записать конечной десятичной дробью: это 0,333… Приближённая запись в процентах — около 33,3%.

Пример 3. Выпало число, которое делится на три. Подходят 3 и 6. Вероятность тоже равна 1/3, хотя само событие другое. Равные вероятности не означают, что события совпадают.

Можно быстро сравнить несколько условий в одной таблице. При этом каждый раз нужно заново выбрать подходящие числа, а не переносить числитель из предыдущего примера.

Событие	Подходящие исходы	Вероятность
Число меньше 3	1, 2	2/6 = 1/3
Число не больше 3	1, 2, 3	3/6 = 1/2
Число не меньше 5	5, 6	2/6 = 1/3
Число равно 4	4	1/6
Число больше 6	Нет	0
Число от 1 до 6 включительно	Все шесть	1

Невозможное, достоверное и противоположное событие

Невозможное событие не происходит ни при одном исходе данного опыта. Его вероятность равна 0. Достоверное событие происходит при каждом исходе, поэтому его вероятность равна 1. Эти названия относятся к выбранной модели и условиям опыта.

При одном броске обычного шестигранного кубика число 8 выпасть не может. Событие «выпало число не больше 6» достоверно. Событие «выпала шестёрка» случайно: оно может произойти, но не обязано.

Противоположное к событию A событие означает «A не произошло». Оно включает все остальные исходы. Поэтому P(не A) = 1 − P(A). Если вероятность шестёрки равна 1/6, вероятность результата, отличного от шестёрки, равна 5/6.

Важно точно читать отрицание. Противоположное событию «выпало число больше 4» — «выпало число не больше 4». Это результаты 1, 2, 3, 4. Формулировка «меньше 4» была бы неверной, потому что исключила бы четвёрку.

Способ через противоположное событие особенно удобен, когда подходящих исходов много, а неподходящих мало. Например, среди двадцати карточек только две имеют красную отметку. Вероятность выбрать карточку без красной отметки равна 1 − 2/20 = 9/10.

Карточки с числами: считайте предметы, а не названия

Если карточки пронумерованы от 1 до 10 и каждая встречается один раз, отдельных исходов десять. Для события «номер кратен трём» подходят карточки 3, 6 и 9. Вероятность равна 3/10 = 30%.

Теперь возьмём семь карточек с надписями 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4. Равновозможных карточек семь, хотя разных чисел четыре. Событие «вытянута тройка» происходит при выборе любой из трёх карточек с этой надписью: P = 3/7.

Если требуется чётное число, подходят карточки 2 и 4, значит, P = 2/7. Если число не меньше 3, подходят три карточки с тройкой и одна с четвёркой: P = 4/7.

Одинаковые надписи нельзя объединять в один равновозможный исход без учёта количества карточек. Такое объединение изменит знаменатель и потеряет информацию о составе стопки. Для проверки подпишите повторяющиеся карточки маленькими индексами.

Карточки с буквами: пример со словом

В задачах со словом обычно каждую букву записывают на отдельной карточке. Число карточек равно числу букв в слове, а повторяющиеся буквы сохраняются. Заголовок или само слово служат способом задать набор предметов.

Возьмём слово «МАТЕМАТИКА». В нём десять букв. Буква А встречается три раза, М — два, Т — два, Е, И и К — по одному разу. После перемешивания вероятность вытянуть А равна 3/10.

Гласных карточек пять: три А, одна Е и одна И. Поэтому вероятность гласной равна 5/10 = 1/2. Согласных тоже пять: две М, две Т и одна К. Это дополнительно проверяет подсчёт: вместе группы содержат все десять карточек.

Если спрашивают вероятность буквы, встречающейся в слове только один раз, подходят Е, И и К. Получаем 3/10. Условие касается свойства буквы, но считать всё равно нужно отдельные карточки.

При переносе способа на другое слово не сохраняйте готовые числа. Сначала выпишите его буквы, затем отметьте подходящие. Для короткого слова это надёжнее, чем попытка посчитать всё мысленно.

Два броска кубика: почему исходов 36

Если кубик бросают дважды, результат опыта можно записать упорядоченной парой: сначала результат первого броска, затем второго. Пары (1; 5) и (5; 1) различаются порядком. Для правильного кубика при независимых бросках все 6 · 6 = 36 пар равновозможны.

В таблице удобно поставить результаты первого броска по строкам, второго — по столбцам. Каждая клетка будет одной парой. Если задача касается суммы, в клетку можно записать сумму соответствующих чисел.

Например, сумма 7 получается для пар (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1). Подходящих пар шесть, поэтому P(сумма 7) = 6/36 = 1/6.

Сумма 2 получается только для пары (1; 1), а сумма 12 — только для (6; 6). Вероятность каждой из них равна 1/36. Возможные суммы от 2 до 12 не равновозможны, поэтому делить единицу на одиннадцать для каждой суммы нельзя.

Для события «хотя бы одна шестёрка» можно посчитать пары без шестёрки. В каждом броске остаётся пять вариантов, значит, таких пар 25. Подходящих пар 36 − 25 = 11, поэтому вероятность равна 11/36. Пара (6; 6) входит в событие один раз.

Если считать напрямую, шестёрка в первом броске даёт шесть пар, а во втором — ещё шесть. Но (6; 6) окажется посчитанной дважды. Поэтому получается 6 + 6 − 1 = 11. Этот пример показывает, зачем проверять пересечение условий.

Возвращают ли карточку: почему это меняет опыт

При нескольких выборах важно узнать, возвращают ли вытянутую карточку в стопку. После возвращения и нового перемешивания состав стопки прежний. Без возвращения количество и состав оставшихся карточек меняются.

Пусть имеются четыре одинаковые карточки с номерами 1, 2, 3, 4. Карточку выбирают дважды. Если после первого выбора её возвращают и перемешивают стопку, возможны 4 · 4 = 16 равновозможных упорядоченных пар. Совпадение номеров получается в четырёх парах: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4). Вероятность равна 1/4.

Если первую карточку не возвращают, после её выбора остаются три. Всего 4 · 3 = 12 равновозможных упорядоченных пар, и одинаковых номеров среди них нет. Вероятность повторения номера равна 0.

Такой подсчёт предполагает одинаковый шанс выбора каждой оставшейся карточки. В более сложных наборах с повторяющимися надписями нужно различать сами карточки, даже если номера на них совпадают.

При записи решения достаточно короткой фразы: «выбор с возвращением» или «выбор без возвращения». Но эта фраза должна соответствовать условию; самостоятельно добавлять возвращение ради удобного знаменателя нельзя.

Вероятность и частота: что показывает реальный опыт

Вероятность рассчитывают по модели, а относительную частоту находят по наблюдениям. Частота равна числу случаев, когда событие произошло, делённому на число проведённых опытов. В небольшой серии она может заметно отличаться от теоретической вероятности.

Допустим, кубик бросили 30 раз и получили шестёрку 7 раз. Относительная частота шестёрки равна 7/30, приблизительно 0,233. Теоретическая вероятность для правильного кубика равна 1/6, приблизительно 0,167. Разница в такой короткой серии сама по себе не доказывает, что кубик неправильный.

Вероятность 1/6 не означает, что каждые шесть бросков обязательно дадут одну шестёрку. Возможны серии без шестёрок и серии с несколькими подряд. Даже после пяти результатов без шестёрки вероятность шестёрки в следующем независимом броске правильного кубика остаётся 1/6.

Для учебного наблюдения можно провести несколько серий по 30 бросков и сравнить частоты. Записывайте все результаты по порядку, не убирайте неудачные попытки и не меняйте правила в середине опыта. Цель — увидеть различие между расчётом и наблюдением, а не добиться заранее заданного числа шестёрок.

Задания для самостоятельной тренировки

Сначала запишите подходящие исходы, затем вероятность. В заданиях с двумя бросками или выборами обозначьте порядок результатов. Если ответ требует объяснения, укажите, какие исходы ошибочно сочли равновозможными или какие предметы пропустили.

1. Правильный кубик бросают один раз. Найдите вероятность нечётного числа.
2. Для того же опыта найдите вероятность числа больше 2.
3. Найдите вероятность числа, которое делится на 2 и на 3 одновременно.
4. Найдите вероятность числа не меньше 4.
5. Из карточек с номерами от 1 до 12 выбирают одну наугад. Найдите вероятность номера, кратного 4.
6. Из этого же набора найдите вероятность номера меньше 5.
7. В стопке восемь карточек: четыре красные, три синие и одна зелёная. Найдите вероятность синей карточки.
8. Для этого же набора найдите вероятность карточки, которая не красная.
9. В стопке карточки с надписями 2, 2, 2, 5, 5, 7. Найдите вероятность вытянуть 5.
10. Для того же набора найдите вероятность нечётной надписи.
11. На отдельных карточках записаны буквы слова «МАТЕМАТИКА». Найдите вероятность вытянуть Т и вероятность вытянуть согласную.
12. Ученик сказал: «В слове “МАТЕМАТИКА” шесть разных букв, поэтому вероятность А равна 1/6». Объясните ошибку.
13. Правильный кубик бросают дважды независимо. Найдите вероятность суммы 4.
14. Для двух бросков найдите вероятность одинаковых результатов.
15. Для двух бросков найдите вероятность того, что оба результата больше 4.
16. Для двух бросков найдите вероятность хотя бы одной шестёрки.
17. Дважды выбирают карточку из набора 1, 2, 3, возвращая её и перемешивая набор после первого выбора. Найдите вероятность одинаковых номеров.
18. Те же выборы делают без возвращения. Найдите вероятность одинаковых номеров.
19. В 40 бросках шестёрка появилась 9 раз. Найдите её относительную частоту.
20. После пяти бросков без шестёрки ученик считает шестёрку в следующем броске достоверным событием. Прав ли он для правильного кубика и независимых бросков?

Ответы и разбор подсчёта

Ответ удобнее сверять вместе с исходами. Совпавшая дробь ещё не доказывает, что рассуждение правильное: одинаковое число подходящих исходов может получиться случайно. Для каждого условия проверьте, почему числитель и знаменатель имеют именно эти значения.

1. Подходят 1, 3, 5: 3/6 = 1/2.
2. Подходят 3, 4, 5, 6: 4/6 = 2/3.
3. Подходит только 6: 1/6.
4. Подходят 4, 5, 6: 3/6 = 1/2.
5. Подходят 4, 8, 12: 3/12 = 1/4.
6. Подходят 1, 2, 3, 4: 4/12 = 1/3.
7. Синих карточек три из восьми: 3/8.
8. Подходят три синие и одна зелёная: 4/8 = 1/2. Также можно получить 1 − 4/8.
9. Две карточки с пятёркой из шести: 2/6 = 1/3.
10. Подходят две карточки с пятёркой и одна с семёркой: 3/6 = 1/2.
11. Две Т из десяти дают 1/5. Согласных карточек пять, поэтому их вероятность 1/2.
12. Равновозможны отдельные карточки, а не разные названия букв. Всего карточек десять, три из них с А: 3/10.
13. Подходят (1; 3), (2; 2), (3; 1): 3/36 = 1/12.
14. Подходят (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6): 6/36 = 1/6.
15. В каждом броске подходят 5 и 6. Пар четыре: (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6). Вероятность 4/36 = 1/9.
16. Без шестёрки 25 пар из 36, поэтому 11/36.
17. С возвращением 3 · 3 = 9 пар. Совпадающих три, вероятность 3/9 = 1/3.
18. Без возвращения повторить номер нельзя: 0.
19. Относительная частота 9/40 = 0,225 = 22,5%. Это наблюдаемая величина, а не новый теоретический шанс шестёрки.
20. Нет. Следующий бросок независим от предыдущих, вероятность шестёрки остаётся 1/6. Шестёрка возможна, но не обязательна.

Проверочный список перед сдачей работы

Последняя проверка помогает исправить ошибки подсчёта до того, как они превратятся в неправильную дробь. В задаче на вероятность важно не только выполнить деление, но и объяснить, почему выбранные исходы можно считать равновозможными.

• Я указал, какой опыт проводится и сколько раз.
• При выборе карточек учёл возвращение или его отсутствие.
• Определил отдельный исход и не объединил повторяющиеся предметы.
• Проверил равновозможность исходов по условию.
• Перечислил подходящие исходы без пропусков и повторов.
• В двух бросках различаю пары с разным порядком.
• Для условия «хотя бы один» проверил, не посчитано ли пересечение дважды.
• Получил вероятность от 0 до 1 и корректно записал проценты.
• Отличаю теоретическую вероятность от относительной частоты наблюдений.

Если дробь кажется неожиданной, вернитесь к списку исходов. С карточками обычно достаточно обозначить каждый предмет отдельно; с двумя бросками — построить таблицу пар. Такая проверка показывает причину ответа и позволяет решить похожую задачу, даже когда количество карточек или условие события изменилось.

Дерево вариантов: как показать опыт из нескольких шагов

Если случайный опыт состоит из нескольких действий, дерево вариантов помогает сохранить их порядок. Его начало обозначает состояние до опыта, ветви — возможные результаты очередного действия, а полный путь от начала до последней вершины — последовательность результатов. Например, путь «красная, синяя» означает, что сначала достали красную карточку, а затем синюю. Путь «синяя, красная» описывает другую последовательность, хотя набор цветов совпадает.

На ветвях записывают вероятности отдельных шагов. При этом на втором шаге учитывают, что произошло на первом. Если карточку не возвращают, состав набора меняется; если возвращают и снова перемешивают, он остаётся прежним. Слова «два выбора» сами по себе не объясняют, как устроен опыт.

Чтобы построить дерево, сначала сформулируйте событие обычными словами. Затем отделите результаты одного действия от полных последовательностей. Удобно придерживаться следующего порядка.

1. Запишите, что выбирают и сколько раз выполняют действие.
2. Уточните, возвращают ли выбранный предмет и меняется ли набор.
3. Проведите ветви первого шага и подпишите их вероятности.
4. Из конца каждой ветви покажите допустимые результаты второго шага.
5. Для каждого продолжения пересчитайте вероятности по оставшемуся набору.
6. Отметьте полные пути, которые подходят к условию события.
7. Найдите вероятность каждого такого пути, а затем сложите результаты.

Сумма вероятностей всех продолжений из одной вершины должна равняться единице, если показаны все возможные результаты следующего действия. Это первая проверка дерева. Вторая проверка — сумма вероятностей всех полных путей: она тоже должна быть равна единице.

Разбор: две карточки без возвращения

В непрозрачной коробке лежат три красные и две синие карточки одинакового размера. Карточки хорошо перемешивают и достают по одной так, что на каждом шаге каждый оставшийся предмет имеет одинаковую вероятность выбора. Первую карточку не возвращают. Требуется найти вероятность того, что две выбранные карточки будут разных цветов.

Обозначим красную карточку буквой К, синюю — С. На первом шаге вероятность красной равна 3/5, синей — 2/5. После первого выбора в коробке остаются четыре карточки, но их состав зависит от цвета уже вынутой карточки. Поэтому у второго уровня дерева два разных набора вероятностей.

• Первая карточка К: вероятность этой ветви 3/5.
  • Вторая К: осталось две красные из четырёх, вероятность продолжения 2/4.
  • Вторая С: осталось две синие из четырёх, вероятность продолжения 2/4.
• Первая карточка С: вероятность этой ветви 2/5.
  • Вторая К: осталось три красные из четырёх, вероятность продолжения 3/4.
  • Вторая С: осталась одна синяя из четырёх, вероятность продолжения 1/4.

Вероятность полного пути находят умножением вероятностей его ветвей. На каждом следующем шаге используют вероятность именно при том условии, которое задаёт предыдущая часть пути. Получаются четыре цветовые последовательности с разными вероятностями.

Путь	Расчёт	Вероятность
КК	3/5 · 2/4	3/10
КС	3/5 · 2/4	3/10
СК	2/5 · 3/4	3/10
СС	2/5 · 1/4	1/10

Разные цвета дают пути КС и СК. Они не могут осуществиться одновременно в одном опыте: первая карточка не бывает сразу красной и синей. Поэтому их вероятности складывают: 3/10 + 3/10 = 3/5. Ответ можно записать как 0,6 или 60%.

Проверим весь набор путей: 3/10 + 3/10 + 3/10 + 1/10 = 1. Заодно видно, почему нельзя считать ответ по четырём цветовым последовательностям как «два подходящих пути из четырёх». Эти пути не равновероятны: получить две синие карточки труднее, чем две красные. Формула m/n требует равновероятных исходов, а не просто одинаковой длины их названий.

Если пронумеровать все пять карточек, можно считать упорядоченные пары конкретных предметов. Всего их 5 · 4 = 20. Для порядка «красная, синяя» подходят 3 · 2 = 6 пар, для обратного порядка — ещё 2 · 3 = 6. Получаем 12/20 = 3/5. Дерево и подсчёт пар описывают один и тот же опыт и дают одинаковый результат.

Что изменится, если карточку возвращают

Сохраним три красные и две синие карточки, но теперь после первого выбора вернём карточку и снова перемешаем набор. На втором шаге в коробке опять пять карточек того же состава. Вероятности красной и синей равны 3/5 и 2/5 после любой первой ветви. Предполагается, что новый случайный выбор устроен независимо от первого.

Четыре последовательности остаются теми же, однако меняются числа на ветвях и вероятности полных путей. Сравнение двух опытов показывает, почему условие о возвращении нужно записывать до вычислений.

Путь	Без возвращения	С возвращением
КК	3/10	3/5 · 3/5 = 9/25
КС	3/10	3/5 · 2/5 = 6/25
СК	3/10	2/5 · 3/5 = 6/25
СС	1/10	2/5 · 2/5 = 4/25

С возвращением вероятность разных цветов равна 6/25 + 6/25 = 12/25, то есть 0,48. Без возвращения она равна 0,6. Причина различия состоит в составе коробки на втором шаге. Формулу нельзя переносить из одного условия в другое, даже если текст задач отличается всего несколькими словами.

Когда умножать, а когда складывать

Умножение отвечает на вопрос о последовательности: какова вероятность пройти сначала одну ветвь, затем другую. Например, без возвращения для КС получаем 3/5 · 2/4. Число 2/4 относится к ситуации, когда первая красная карточка уже вынута, а не к исходной коробке.

Сложение объединяет разные полные пути одного события. Для разных цветов подходят КС или СК, поэтому складывают вероятности этих взаимоисключающих последовательностей. Если описания событий пересекаются, обычная сумма может дважды учесть одни и те же результаты. Тогда сначала уточняют, какие полные пути действительно различаются.

Для события «хотя бы одна красная» без возвращения подходят КК, КС и СК. Прямой расчёт даёт 3/10 + 3/10 + 3/10 = 9/10. Можно использовать противоположное событие «обе синие»: 1 − 1/10 = 9/10. Выражение «хотя бы одна» включает и две красные; выражение «ровно одна» — только пути КС и СК.

Независимость не нужна для самого правила умножения с вероятностями, зависящими от предыдущего шага. Она позволяет использовать на следующем шаге исходную вероятность без изменения. Для выбора без возвращения такое упрощение обычно неверно.

Три броска монеты: дерево с восемью путями

Пусть симметричную монету подбрасывают три раза независимо. На каждом шаге орёл и решка имеют вероятность 1/2. Из каждой вершины выходят две ветви, поэтому после трёх бросков получается 2 · 2 · 2 = 8 полных путей. Вероятность каждого равна 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8.

Для события «ровно два орла» подходят ООР, ОРО и РОО. Всего таких путей три, поэтому вероятность равна 3/8. Дерево полезно тем, что заставляет учитывать разные порядки: нельзя оставить только ООР и считать две другие последовательности тем же исходом.

Для события «хотя бы один орёл» проще вычесть вероятность единственного противоположного пути РРР: 1 − 1/8 = 7/8. Здесь подсчёт по формуле m/n работает, потому что восемь последовательностей равновероятны. Это следствие условий о симметричной монете и независимых бросках, а не свойство любого дерева.

Тренировка на деревьях вариантов

В первых четырёх заданиях используйте коробку с тремя красными и двумя синими карточками. Во всех случаях выбор случайный, карточки одинаковы по размеру. Сначала подпишите ветви, а потом выполняйте расчёт: так будет видно, в каком месте меняется условие опыта.

1. Без возвращения найдите вероятность двух красных карточек.
2. Без возвращения найдите вероятность хотя бы одной красной карточки двумя способами.
3. С возвращением найдите вероятность двух синих карточек.
4. С возвращением найдите вероятность ровно одной красной карточки.
5. В коробке две красные и одна синяя карточка. Достают две без возвращения. Найдите вероятность разных цветов и объясните, почему пути КК, КС, СК, СС нельзя считать четырьмя равновероятными исходами.
6. Симметричную монету независимо бросают три раза. Найдите вероятность ровно одного орла.
7. При трёх независимых бросках симметричной монеты найдите вероятность одинакового результата во всех бросках.
8. Ученик нарисовал полное дерево, в котором вероятности двух ветвей из одной вершины равны 2/5 и 2/5. Найдите ошибку. Можно ли по такой схеме сразу считать вероятность полного пути?

Для самопроверки сравните не только ответы, но и знаменатели на втором шаге. Верный итог, полученный из неверной схемы случайным совпадением, не подтверждает правильность способа.

Ответы к тренировке на деревьях

В решениях ниже умножаются вероятности ветвей одного пути, а складываются вероятности разных подходящих путей. Для каждой дроби можно указать, сколько нужных карточек осталось и сколько предметов всего лежит в коробке.

1. 3/10: 3/5 · 2/4. После первой красной остаются две красные и две синие.
2. 9/10: сумма КК, КС, СК равна 3/10 + 3/10 + 3/10. Через противоположное событие: 1 − 2/5 · 1/4 = 9/10.
3. 4/25: 2/5 · 2/5. Возвращение сохраняет состав коробки.
4. 12/25: 3/5 · 2/5 + 2/5 · 3/5. Две красные не входят в событие «ровно одна».
5. 2/3: КС имеет вероятность 2/3 · 1/2 = 1/3, СК — 1/3 · 2/2 = 1/3. Путь СС невозможен: после выбора единственной синей второй синей в коробке нет. КК, КС и СК в этом опыте имеют вероятности 1/3; невозможный путь можно не рисовать либо отметить нулём.
6. 3/8: подходят ОРР, РОР, РРО, вероятность каждого 1/8.
7. 1/4: подходят ООО и РРР, поэтому 1/8 + 1/8 = 2/8.
8. Сумма равна 4/5, хотя для полного набора продолжений должна получиться единица. Либо пропущена ветвь с вероятностью 1/5, либо неверно указана одна из вероятностей. Сначала нужно уточнить полный набор исходов и исправить схему.

Как проверить собственное дерево

Перед сдачей работы проследите один путь от начала до конца и объясните каждую подписанную дробь словами. Если число на ветви нельзя связать с условием опыта, рисунок ещё не готов к расчёту. После этого проверьте схему по короткой памятке.

• Указано, что считают одним полным исходом: цветовую последовательность, пару конкретных карточек или результаты нескольких бросков.
• Порядок действий сохранён, а «красная, синяя» не смешано с «синяя, красная».
• Возвращение предмета или его отсутствие учтено на каждом следующем шаге.
• Вероятности всех продолжений из одной вершины дают в сумме единицу.
• Вероятности всех полных путей тоже дают единицу.
• Подходящие пути отвечают точной формулировке события: «ровно», «хотя бы», «оба» или «ни одного».
• Правило m/n применяется только после проверки равновероятности выбранных исходов.
• Итог находится между нулём и единицей и, если возможно, проверен другим способом.