Среднее арифметическое, медиана и размах: расчёт по школьным данным

Сначала разберитесь, что измеряли

Числа могут обозначать минуты чтения, длину прыжка, температуру воздуха или количество решённых задач. Перед вычислениями подпишите единицу измерения и проверьте, что сравниваете значения одного и того же признака. Нельзя без пояснения смешать минуты и часы или сложить количество книг с количеством страниц.

Пусть пять дней ученик записывал число прочитанных страниц: 8, 10, 6, 12, 9. Это пять наблюдений одного признака, измеренных в страницах. Среднее отвечает на вопрос о количестве страниц за день в среднем; медиана показывает центральный день после упорядочивания; размах показывает расстояние между самым маленьким и самым большим результатом.

Статистические показатели не объясняют причины сами по себе. Если в один день страниц оказалось меньше, нельзя по одной таблице утверждать, что ребёнок «ленился»: могло быть меньше свободного времени или текст был сложнее. Сначала точно посчитайте, затем отделите вывод о числах от догадки о причинах.

Как найти среднее арифметическое

Для ряда 8, 10, 6, 12, 9 найдём сумму: 8 + 10 + 6 + 12 + 9 = 45 страниц. Чисел пять, поэтому среднее равно 45 / 5 = 9 страниц. Запись «45 / 5» важна: делить нужно на количество наблюдений, а не на самое большое число или число дней в календарной неделе, если наблюдали только пять дней.

Среднее не обязано совпадать с одним из исходных значений. Если три ученика выполнили 2, 3 и 4 задания, среднее равно 3 и встречается в ряду. Если результаты 2, 3 и 6, среднее 11/3, то есть примерно 3,67, хотя никто не выполнил «0,67 задания». Показатель описывает группу, а не отдельного человека.

Если результаты измеряются в градусах Цельсия, среднее тоже записывают в градусах. Если это минуты, ответ будет в минутах. При округлении укажите, до какого разряда округлили: 11/3 ≈ 3,67. Не округляйте промежуточные значения слишком рано, иначе итог может отличиться от правильного.

Как найти медиану при нечётном числе значений

Медиану можно определять только после упорядочивания ряда. Вернёмся к страницам: 8, 10, 6, 12, 9. Расположим числа по возрастанию: 6, 8, 9, 10, 12. Центральное, третье из пяти, равно 9. Значит, медиана — 9 страниц. В этом примере среднее и медиана совпали, но это не общее правило.

У ряда 2, 3, 3, 4, 18 середина после упорядочивания равна 3, а среднее — 6. Значение 18 влияет на сумму, но не меняет положение третьего числа. Именно поэтому медиану часто рассматривают рядом со средним, когда в данных есть необычно большие или маленькие значения.

Не ищите «среднее по величине» в исходной строке, если она не отсортирована. У ряда 8, 10, 6, 12, 9 на третьем месте стоит 6, но медиана равна 9. Сначала сортировка, затем поиск центра — такой порядок убирает типичную ошибку.

Медиана при чётном количестве наблюдений

Пусть результаты четырёх измерений: 1, 3, 6, 9. В центре находятся два числа — 3 и 6. Их среднее арифметическое равно (3 + 6) / 2 = 4,5. Это медиана. Она может отсутствовать среди исходных значений; это нормально, ведь она показывает границу между нижней и верхней половинами ряда.

Для шести чисел 0, 0, 2, 2, 6, 8 центральные позиции — третья и четвёртая, оба раза стоит 2. Медиана (2 + 2) / 2 = 2. Не нужно усреднять все шесть чисел — это даст среднее арифметическое, а не медиану.

Если одинаковые значения встречаются несколько раз, каждое учитывается как отдельное наблюдение. Например, в ряду 1, 2, 2, 2, 10 число 2 занимает три позиции. Удалить повторы ради «удобства» нельзя: тогда изменятся количество данных, медиана и среднее.

Что показывает размах

Размах — разность максимума и минимума. В ряду 6, 8, 9, 10, 12 наибольшее число 12, наименьшее 6, размах 12 − 6 = 6 страниц. Порядок исходных чисел не влияет на размах. Но сортировка помогает увидеть крайние значения без случайной ошибки.

У ряда 2, 3, 3, 4, 18 размах 18 − 2 = 16. Большой размах показывает, что крайние результаты далеко друг от друга. Он не рассказывает, как расположены все остальные значения внутри промежутка. Ряды 2, 2, 2, 2, 18 и 2, 6, 10, 14, 18 имеют одинаковый размах 16, но устроены по-разному.

Размах не может быть отрицательным, если вычитаете минимум из максимума. Если все результаты одинаковые, например 5, 5, 5, то размах равен 0. Нулевой размах говорит лишь о совпадении записанных значений, а не о том, насколько точны были измерения.

Полный расчёт по школьной таблице

Пусть в течение шести дней записали время решения однотипной задачи в минутах: 9, 7, 8, 12, 7, 11. Сначала проверим число наблюдений: их шесть. Сумма 9 + 7 + 8 + 12 + 7 + 11 = 54 минуты, среднее 54 / 6 = 9 минут.

Теперь упорядочим ряд: 7, 7, 8, 9, 11, 12. Центральные значения — 8 и 9, значит, медиана (8 + 9) / 2 = 8,5 минуты. Размах равен 12 − 7 = 5 минут. Получились три разных числа: 9, 8,5 и 5; они отвечают на три разных вопроса.

Записывая вывод, назовите эти вопросы. «В среднем задача занимала 9 минут; половина результатов не больше примерно 8,5 минуты, другая половина не меньше; между самым быстрым и самым медленным днём разница 5 минут». Для чётного ряда с центральными 8 и 9 аккуратнее говорить о разделении упорядоченного ряда, чем утверждать, будто в какой-то день задача заняла ровно 8,5 минуты.

Почему среднее может обманывать без контекста

Сравним два набора баллов: A — 4, 5, 6, 7, 8; B — 1, 1, 1, 9, 18. У обоих сумма 30 и среднее 6. Но у A медиана 6 и размах 4, у B медиана 1 и размах 17. Одно среднее скрывает различие: в первом наборе результаты собраны ближе друг к другу, во втором три из пяти значений равны 1.

Это не значит, что среднее «неправильное». Оно правильно посчитано, но отвечает только на вопрос о сумме, распределённой на все наблюдения. Медиана и размах дополняют описание. В реальной работе ещё важно знать, сколько было наблюдений и одинаково ли измеряли все результаты.

Если один результат кажется необычным, не удаляйте его самостоятельно. Сначала проверьте запись и условие. Возможно, это ошибка ввода; возможно, настоящий результат. Удаление меняет все показатели и требует объяснения, иначе итоговый вывод нельзя проверить.

Как работать с таблицей и диаграммой

Если данные даны в таблице по дням или ученикам, выпишите значения одного столбца и посчитайте, сколько их. Для среднего сохраните все значения; для медианы создайте отдельную упорядоченную строку; для размаха найдите минимум и максимум. Так вы не потеряете связь с исходной таблицей и одновременно получите удобный ряд для вычислений.

На столбчатой диаграмме сначала прочитайте подписи осей и масштаб. Если высота столбца между делениями, значение может быть приблизительным; это следует отметить в ответе. По диаграмме без числовых подписей нельзя всегда вычислить точное среднее или медиану. Но часто можно увидеть минимум, максимум и предположить размах с указанной точностью.

Не путайте число значений с частотой. Если таблица сообщает, что результат 5 встретился у трёх учеников, в общем ряду число 5 нужно учесть три раза. Иначе среднее и медиана будут искажены. При больших частотах удобнее умножать значение на частоту для суммы, но общее количество наблюдений всё равно равно сумме частот.

Частые ошибки и способы самопроверки

Первая ошибка — деление суммы не на число результатов, а на число разных значений. Для ряда 2, 2, 4 всего три наблюдения, хотя разных чисел два. Среднее равно (2 + 2 + 4) / 3 = 8/3, а не 6/2. Повторение результата не делает его невидимым.

Вторая ошибка — медиана без сортировки. Третья — выбор одного центрального значения при чётном количестве наблюдений. Четвёртая — размах как максимум плюс минимум. Перед сдачей проверьте формулы словами: «сумма разделить на количество», «центр упорядоченного ряда», «максимум минус минимум».

Полезна грубая оценка. Среднее не может быть меньше минимума или больше максимума, если все значения обычные числа с одинаковым весом. Медиана тоже лежит между минимумом и максимумом. Если получили для ряда от 2 до 18 среднее 30, ошибка есть в арифметике или в числе наблюдений.

Задания для самостоятельной тренировки

Для каждого ряда найдите среднее, медиану и размах. Покажите упорядоченную строку хотя бы в первых трёх заданиях. В пятом задании сначала найдите неизвестное число по среднему, а затем остальные показатели. Ответы размещены ниже, чтобы можно было проверить весь ход решения.

1. 4, 6, 8, 10, 12.
2. 2, 3, 3, 4, 18.
3. 6, 1, 9, 3.
4. 0, 0, 2, 2, 6, 8.
5. Известно, что среднее пяти чисел 4, 6, 7, 8, x равно 7. Найдите x, медиану и размах полученного ряда.
6. В таблице указано: результат 2 встретился дважды, результат 5 — трижды. Выпишите ряд и найдите его среднее, медиану и размах.

Ответы: 1) среднее 8, медиана 8, размах 8; 2) 6, 3, 16; 3) среднее 19/4 = 4,75, медиана (3 + 6) / 2 = 4,5, размах 8; 4) среднее 3, медиана 2, размах 8; 5) сумма должна быть 7 · 5 = 35, известные числа дают 25, значит, x = 10; ряд 4, 6, 7, 8, 10, медиана 7, размах 6; 6) ряд 2, 2, 5, 5, 5, среднее (2 · 2 + 5 · 3) / 5 = 19/5 = 3,8, медиана 5, размах 3.

В третьем задании сначала упорядочьте числа: 1, 3, 6, 9. В шестом повторите каждое значение столько раз, сколько указывает частота. Если среднее в шестом задании получилось 3,5, проверьте, не усреднили ли вы только 2 и 5, забыв, что пятёрок больше.

Как записать вывод по данным

Хороший вывод содержит сами показатели, единицы измерения и осторожное объяснение их смысла. Например: «За шесть дней среднее время решения составило 9 минут, медиана — 8,5 минуты, размах — 5 минут. Самый быстрый результат отличался от самого медленного на 5 минут; один более долгий день поднял среднее выше медианы». Последнюю причинную фразу стоит писать только если это видно из конкретного ряда и вы понимаете, какие значения повлияли на сумму.

Если данных мало, не переносите вывод на всех учеников или на весь учебный год. Расчёт по пяти дням описывает именно эти пять наблюдений. Чтобы сравнивать две группы, убедитесь, что числа означают один и тот же признак и измерены в одних единицах. Тогда среднее, медиана и размах станут понятным описанием набора, а не тремя случайными ответами без контекста.