Степень с натуральным показателем: правила и упражнения

Что показывают основание и показатель

В записи 5³ число 5 — основание степени, а 3 — показатель. Показатель отвечает на вопрос, сколько раз основание взяли множителем: 5³ = 5 · 5 · 5 = 125. Он не означает умножение основания на показатель. Поэтому 5³ — это 125, а 5 · 3 — 15. Сходство цифр в записи не делает действия одинаковыми.

Натуральный показатель — положительное целое число: 1, 2, 3 и так далее. При показателе 1 степень равна самому основанию: a¹ = a. Если основание — число 1, значение любой его натуральной степени равно 1. Если основание — 0, при положительном показателе результат равен 0: 0⁵ = 0. В школьных задачах стоит явно различать этот случай и выражение 0⁰, которое здесь не рассматривается.

Когда в основании стоит выражение, повторяется весь множитель в скобках. Так, (a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b). Нельзя оставить в степени только a, будто скобок нет. Это наблюдение пригодится при изучении формул сокращённого умножения и помогает не выдумывать неверные «правила для суммы».

Как читать отрицательное основание

Скобки определяют, что именно возводят в степень. В выражении (−4)² основание — число −4, взятое два раза: (−4) · (−4) = 16. В записи −4² степень относится только к 4, а знак минус стоит перед ней: −(4 · 4) = −16. Если в задании есть оба варианта, перепишите их с расставленными скобками и сравните действия.

При чётном натуральном показателе степень отрицательного числа положительна: (−2)⁴ = 16. При нечётном она отрицательна: (−2)³ = −8. Причина в парах отрицательных множителей: каждая пара даёт положительное произведение, а при нечётном количестве один отрицательный множитель остаётся без пары.

Полезно сделать короткую проверку знаком до вычислений. Если написано (−5)⁶, ответ должен быть положительным, даже если само число велико. Если написано −5⁶, ответ отрицательный: скобок вокруг минуса нет. Это не отдельное исключение, а обычный порядок действий.

Умножение степеней с одинаковым основанием

В произведении 2³ · 2⁴ первый множитель содержит три двойки, второй — четыре. Всего получается семь одинаковых множителей, поэтому 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128. В буквенной записи правило выглядит так: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ при натуральных m и n. Основание при этом сохраняется; складывают только показатели.

Например, x² · x⁵ = x⁷, а (−3)² · (−3)³ = (−3)⁵ = −243. В последнем примере у обеих степеней одно и то же основание −3 в скобках. Если один множитель 3², а другой (−3)³, сначала нужно учесть знак: основания уже различаются. Можно отдельно вычислить числовые значения или преобразовать одно из выражений осмысленно.

Правило не относится к сложению. Из 2³ + 2⁴ нельзя получить 2⁷: слева 8 + 16 = 24, справа 128. Значок действия между степенями надо прочитать раньше, чем применять свойство. При сомнении раскройте небольшие степени в произведение и посмотрите, что можно объединить.

Деление степеней с одинаковым основанием

В дроби 5⁶ / 5² можно сократить по одному одинаковому множителю числителя и знаменателя дважды. Останется четыре пятёрки: 5⁶ / 5² = 5⁴ = 625. Это даёт правило aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, если a не равно нулю и m больше n. Условие на основание важно: делить на ноль нельзя.

Проверим на буквенном примере: x⁷ / x³ = x⁴ при x ≠ 0. Если x = 0, исходная дробь не имеет смысла, хотя конечная запись x⁴ определена. Поэтому ограничение нельзя молча выбросить после сокращения. Если учитель просит упростить выражение, полезно указать его рядом с ответом.

Когда показатели равны, например 7³ / 7³, результат равен 1, потому что ненулевое число делят само на себя. При показателе числителя меньше показателя знаменателя изученные свойства ведут к дроби, например 2² / 2⁵ = 1/2³ = 1/8. Для этого не обязательно вводить отрицательные показатели, если тема пока ограничена натуральными.

Степень степени

Выражение (3²)⁴ означает, что множитель 3² берут четыре раза. В каждой такой группе по две тройки, всего их восемь: (3²)⁴ = 3⁸. Для букв правило записывают как (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Показатели здесь перемножаются, а не складываются, потому что одна степень повторяется как целый множитель.

Сравните два действия: a² · a⁴ = a⁶, но (a²)⁴ = a⁸. В первом случае рядом стоят две степени и между ними знак умножения. Во втором одна степень целиком заключена в скобки и возведена ещё в четвёртую степень. Раскройте смысл скобок, если путаете результаты: (a²)⁴ = a² · a² · a² · a².

Числа тоже можно преобразовывать по этому правилу, но не всегда это сокращает счёт. (2³)² = 2⁶ = 64; непосредственный путь даёт 8² = 64. Оба решения правильны. Для больших показателей удобнее сохранять ответ в виде степени, если задание не требует вычислить значение полностью.

Степень произведения и дроби

Степень произведения можно распределить по множителям: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Например, (2 · 3)³ = 6³ = 216, а по правилу 2³ · 3³ = 8 · 27 = 216. В буквенных упражнениях (3x)² = 3²x² = 9x². Частая ошибка — возвести в степень только x и записать 3x²; так теряется повторение всего множителя 3x.

Для дроби действует похожее правило: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ при b ≠ 0. Например, (2/5)² = 4/25. Знаменатель возводят в степень так же, как числитель. Если основание отрицательно, сначала сохраните скобки: (−2/5)² = 4/25, а (−2/5)³ = −8/125.

Эти правила можно читать в обе стороны. Выражение 4³ · 5³ превращается в (4 · 5)³ = 20³, потому что показатели одинаковы. А 12² можно представить как (3 · 4)² = 3² · 4². Выбирайте направление, которое упрощает конкретную задачу, а не преобразовывайте выражение ради самого преобразования.

Почему нельзя так же раскрывать степень суммы

У произведения (ab)² есть два одинаковых множителя ab, поэтому их можно перегруппировать как a · a · b · b. У суммы (a + b)² структура другая: (a + b)(a + b). При умножении возникают не только a² и b², но и смешанные произведения. Например, (2 + 3)² = 25, тогда как 2² + 3² = 4 + 9 = 13.

Значит, равенство (a + b)² = a² + b² в общем случае неверно. То же касается разности: (a − b)² обычно не равно a² − b². Пока формулы сокращённого умножения не пройдены, можно честно раскрыть скобки умножением или подставить числа для проверки подозрительного «правила».

Числовая подстановка особенно полезна для обнаружения ошибки. Если предполагаемое преобразование должно работать для любых чисел, оно обязано совпасть хотя бы при a = 2 и b = 3. Несовпадение 25 и 13 доказывает, что запись неверна как общее правило. Но совпадение на одном примере ещё не доказывает правило для всех случаев.

Порядок действий в выражениях со степенью

Сначала вычисляют действия в скобках, затем степени, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Например, 2 + 3² · 2 = 2 + 9 · 2 = 20. Если сначала сложить 2 и 3, получится другое выражение и другой ответ. Полезно переписывать по одной строке после каждого вида действий.

Скобки меняют порядок: (2 + 3)² · 2 = 5² · 2 = 50. Сравните это выражение с предыдущим — набор чисел похож, но действия устроены иначе. В задании на вычисление не торопитесь «узнать знакомые числа»; сначала отметьте, какие фрагменты объединены скобками.

Для −2⁴ + (−2)⁴ первая степень даёт −16, а вторая +16. Сумма равна 0. Если записать обе части как +16, ошибка не в сложении, а в том, что знак минус перед первой степенью приняли за часть основания. Это хороший контрольный пример на чтение записи.

Как упростить выражение: разбор

Упростим 3² · 3⁴ / 3³. В числителе основания одинаковые, поэтому 3² · 3⁴ = 3⁶. Теперь делим 3⁶ на 3³ и получаем 3³ = 27. Можно иначе: сначала сократить 3⁴ / 3³ до 3, а затем умножить 3² · 3 = 3³. Оба порядка дают один результат, если не терять ограничения на знаменатель.

В буквенном выражении (2x²)³ / (4x³) сначала возведём в степень числитель: (2x²)³ = 8x⁶. Затем сократим: 8x⁶ / 4x³ = 2x³ при x ≠ 0. Проверка небольшим числом помогает заметить ошибку: при x = 2 исходная дробь равна (2 · 4)³ / (4 · 8) = 512/32 = 16; результат 2 · 2³ тоже равен 16.

Если в примере несколько оснований, группируйте только одинаковые. Из 2³ · 3² нельзя получить 6⁵: показатели и основания различаются. Можно вычислить 8 · 9 = 72 или оставить произведение, если именно такой вид нужен дальше. Правило степеней не подменяет обычные свойства умножения.

Упражнения с ответами

Сначала решите задания без подсказок, а потом сравните каждый шаг с ответом. Для выражений с переменной отмечайте, не было ли в исходной записи деления на эту переменную. Если ответ отличается, раскройте одну из степеней в произведение и найдите место, где было применено неверное правило.

1. Вычислите 2⁵ и (−2)⁵.
2. Сравните значения (−4)² и −4².
3. Упростите a³ · a⁵.
4. Упростите x⁹ / x⁴ и укажите ограничение на x.
5. Упростите (b³)².
6. Упростите (3y)³.
7. Вычислите (3/4)².
8. Вычислите 2³ + 2⁴ и объясните, почему здесь нельзя сложить показатели.
9. Упростите 5⁶ / 5⁴.
10. Проверьте числом, верно ли равенство (a + b)² = a² + b² для любых a и b.

Ответы: 1) 32 и −32; 2) 16 и −16; 3) a⁸; 4) x⁵ при x ≠ 0; 5) b⁶; 6) 27y³; 7) 9/16; 8) 24, потому что между степенями сложение; 9) 25; 10) нет, например при a = 1 и b = 2 левая часть равна 9, правая — 5. Если в третьем задании у вас a¹⁵, вы перемножили показатели вместо сложения. Если в пятом получилось b⁵, вы сложили показатели вместо умножения.

Что проверить перед сдачей работы

Прочитайте каждую запись вслух: что является основанием, где стоят скобки и какое действие соединяет степени. Отдельно проверьте отрицательные числа и деление. Затем оцените ответ: чётная степень отрицательного основания не может быть отрицательной, а результат 2³ + 2⁴ не может совпасть с 2⁷. Числовая оценка нередко ловит ошибку быстрее полного пересчёта.

Полезно сохранить в тетради по одному собственному примеру на каждое правило — с умножением, делением, степенью степени и степенью произведения. Рядом запишите пример, где правило применять нельзя: сумму степеней или степень суммы. Такое соседство показывает границу правила яснее, чем длинный список формул без объяснений.