Теорема Пифагора: задачи на нахождение стороны

В задачах формулу обычно легко вспомнить. Ошибки чаще связаны с чертежом: катет принимают за гипотенузу, складывают квадраты при поиске катета или применяют теорему к треугольнику, прямой угол которого ещё не установлен. Поэтому полезно начать с подписей и короткой записи известных сторон.

Теорема помогает найти диагональ прямоугольника, сторону ромба по диагоналям, высоту равнобедренного треугольника и расстояние между точками на координатной плоскости. В каждом случае сначала выделяют подходящий прямоугольный треугольник. Дальнейшие действия зависят от того, какая из его сторон неизвестна.

Как определить катеты и гипотенузу

Катеты образуют прямой угол. Гипотенуза лежит напротив него и является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Эти названия определяют по углу, а не по тому, как треугольник повёрнут на рисунке.

Если в треугольнике ABC угол C равен 90°, катеты — AC и BC, гипотенуза — AB. Формула записывается так: AB² = AC² + BC². Если прямой угол находится при другой вершине, названия сторон меняются.

Гипотенуза не обязана выглядеть наклонной: рисунок можно повернуть. Найдите отметку прямого угла и сторону, которая не касается его вершины. Так выбор останется правильным при любом расположении фигуры.

В школьной записи часто используют a и b для катетов, c для гипотенузы. Буквы условны. Если в задаче гипотенуза обозначена x, равенство будет x² = a² + b². Важно сохранить соответствие обозначения реальной стороне.

Когда можно применять теорему

Нужен доказанный или данный прямой угол. Он может быть отмечен на чертеже, указан в условии или следовать из свойств другой фигуры. Например, стороны прямоугольника образуют прямой угол, а диагонали ромба перпендикулярны.

Если из вершины проведена высота к противоположной стороне, в точке её основания возникает прямой угол. Такая высота позволяет выделить прямоугольный треугольник внутри исходной фигуры. Укажите, какой именно треугольник используете и какие отрезки стали его сторонами.

Почти прямой угол на схематичном рисунке не является достаточным условием. Для произвольного треугольника равенство c² = a² + b² может не выполняться. Сначала найдите основание для применения теоремы, затем подставляйте числа.

Для отдельного ненулевого катета a из формулы следует c² > b², значит, c > b. Поэтому гипотенуза больше каждого катета. Это простая проверка, которая помогает обнаружить неверно выбранную сторону или ошибку в вычислении.

Как найти гипотенузу

Если известны оба катета, возведите их длины в квадрат, сложите результаты и извлеките арифметический квадратный корень. Например, при катетах 6 см и 8 см получаем c² = 36 + 64 = 100, поэтому c = 10 см.

Запись по шагам позволяет отдельно проверить каждое действие:

1. Установить, что 6 см и 8 см — катеты.
2. Записать c² = 6² + 8².
3. Вычислить c² = 100.
4. Получить c = √100 = 10 см.
5. Проверить: 10 > 8, 10 > 6 и 10² = 6² + 8².

В ответе используют положительную длину. Число −10 тоже является корнем уравнения c² = 100 как алгебраического равенства, однако длиной стороны быть не может. Геометрическое условие c > 0 оставляет только 10 см.

Не заменяйте √(a² + b²) суммой a + b. В этом примере 6 + 8 = 14, а гипотенуза равна 10. Извлечение корня не распределяется по сумме таким образом.

Как найти катет

Если известны гипотенуза c и катет b, сначала выразите квадрат неизвестного катета: a² = c² − b². Здесь нужно вычитание, поскольку один квадрат переносится из суммы в другую часть равенства.

Пусть гипотенуза равна 13 см, один катет — 5 см. Тогда a² = 169 − 25 = 144, откуда a = 12 см. Проверка: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².

Перед вычислением сравните исходные длины. Если число, названное гипотенузой, меньше известного катета, данные или их прочтение требуют проверки. При равенстве c = b получился бы a = 0, что не является стороной обычного треугольника.

Удобный вопрос для выбора действия: «Неизвестная сторона находится напротив прямого угла?» Если да, складывают квадраты катетов. Если нет, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета.

Если корень не извлекается целым числом

Целый ответ получается не всегда. При катетах 5 см и 7 см гипотенуза равна √(25 + 49) = √74 см. Это точная длина, и её можно оставить в таком виде, если условие не требует округления.

Для приближённого ответа √74 ≈ 8,60. Поэтому длина до сотых равна примерно 8,60 см. Знак «≈» показывает, что десятичная запись округлена. Точное значение √74 при необходимости можно использовать в дальнейших вычислениях.

Иногда корень удаётся упростить. Для равных катетов по 5 см получаем c = √50 = 5√2 см. Такая запись точна и короче исходного корня. Правила преобразования можно повторить по материалу о квадратном корне и упрощении выражений.

Сначала получите точную форму ответа, затем округляйте с требуемой точностью. Раннее округление промежуточных длин может изменить конечный результат. При проверке приближённого значения небольшой остаток объясняется округлением; точное значение проверяется равенством без такой погрешности.

Как проверить единицы измерения

Складывать и вычитать квадраты длин удобно после приведения самих длин к одинаковым единицам. Например, 0,6 м и 80 см соответствуют катетам 60 см и 80 см. Тогда c² = 3600 + 6400 = 10000 см², c = 100 см, то есть 1 м.

Можно решить ту же задачу в метрах: c² = 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1 м². После извлечения корня получаем 1 м. Оба способа дают одинаковую длину.

Запись 0,6² + 80² смешивала бы метры и сантиметры. Такая сумма не описывает квадраты сторон в одной системе единиц. Поэтому перевод нужно сделать до вычисления, а выбранную единицу указать в ответе.

Квадраты длин выражаются в квадратных единицах, сама найденная длина — в обычных. Если после извлечения корня в ответе остались см², проверьте оформление.

Диагональ прямоугольника и квадрата

Диагональ прямоугольника вместе с двумя соседними сторонами образует прямоугольный треугольник. Если стороны равны a и b, диагональ d находится по формуле d = √(a² + b²).

Пусть прямоугольная карточка имеет стороны 8 см и 15 см. Получаем d² = 64 + 225 = 289, поэтому d = 17 см. Право применить теорему следует из прямого угла между сторонами карточки.

У квадрата обе стороны равны a. Тогда d² = a² + a² = 2a² и d = a√2 при a > 0. Для стороны 7 см диагональ равна 7√2 см. Обратное вычисление: если диагональ известна, сторона a = d/√2.

До подстановки уточните, известен ли вид четырёхугольника. В произвольном параллелограмме соседние стороны могут образовывать непрямой угол, поэтому такую формулу диагонали применять автоматически нельзя. С признаками фигур помогает материал о параллелограмме, ромбе, прямоугольнике и квадрате.

Сторона ромба по диагоналям

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому половины диагоналей образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является сторона ромба.

Если диагонали равны 10 см и 24 см, катеты нужного треугольника имеют длины 5 см и 12 см. Тогда сторона равна √(25 + 144) = √169 = 13 см.

Частая ошибка — подставить в формулу полные диагонали. Это дало бы √(100 + 576) = 26 см и удвоило бы нужный результат. Чтобы избежать такой ошибки, подпишите отрезки от вершины до точки пересечения диагоналей: именно они входят в выбранный треугольник.

Здесь используются два свойства ромба, и оба важны. Перпендикулярность даёт прямой угол, деление пополам — длины катетов. Если исходный четырёхугольник не установлен как ромб или подходящие условия не доказаны отдельно, необходимо сначала обосновать эти факты.

Высота равнобедренного треугольника

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, также является медианой. Она делит основание пополам и образует два равных прямоугольных треугольника. В каждом гипотенуза — боковая сторона, один катет — половина основания, другой — искомая высота.

Пусть боковая сторона равна 10 см, основание — 12 см. Половина основания равна 6 см. Для высоты h получаем h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, значит, h = 8 см.

В произвольном треугольнике высота к стороне обычно не делит её пополам. Поэтому шаг «12/2 = 6» здесь обоснован именно равенством боковых сторон. В другой задаче отрезки основания нужно находить из собственных данных.

После вычисления проверьте, что высота меньше боковой стороны: 8 < 10. Равенство квадратов также выполняется: 6² + 8² = 10².

Расстояние между точками

Если на координатной плоскости точки различаются по обеим координатам, между ними можно выделить прямоугольный треугольник с горизонтальным и вертикальным катетами. Их длины равны модулям разностей координат.

Для A(1; 2) и B(4; 6) горизонтальная разность равна 3, вертикальная — 4. Расстояние AB = √(3² + 4²) = 5 единиц. Если одна координатная единица соответствует 1 см, расстояние равно 5 см.

В общей записи расстояние между A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) равно √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. Квадраты делают знак разностей несущественным, но координаты каждого типа нужно вычитать из координат того же типа.

Масштаб по осям тоже имеет значение. Если рисунок использует разные единичные отрезки и требуется реальное расстояние на изображении, уточните единицы и условия. Обычная формула координатного расстояния относится к стандартной плоскости с согласованными единицами.

Обратная теорема: как проверить прямой угол

Если у треугольника известны три стороны, сначала найдите самую длинную c. Если c² = a² + b² для двух остальных сторон, треугольник прямоугольный, а прямой угол расположен напротив c. Это обратная теорема Пифагора.

Для длин 5, 12 и 13 проверка даёт 25 + 144 = 169. Следовательно, треугольник прямоугольный. Для длин 7, 8 и 10 получаем 49 + 64 = 113, что отличается от 100. Такой треугольник прямоугольным не является.

Предварительно убедитесь, что три числа действительно могут быть сторонами треугольника: сумма двух меньших должна быть больше третьего. Например, длины 3, 4 и 9 обычный треугольник не образуют. Обсуждать вид его углов в таком случае нельзя.

Если данные округлены, точное равенство квадратов может нарушиться из-за округления. В школьных задачах используйте точные длины, которые даны в условии, и не заменяйте их приближениями без необходимости.

Полезные целочисленные тройки

Некоторые наборы сторон встречаются часто и помогают предположить результат. Однако в решении всё равно нужно показать, что выбранные числа соответствуют катетам и гипотенузе данной задачи.

Основные тройки можно проверить по квадратам:

Катеты	Гипотенуза	Проверка
3 и 4	5	9 + 16 = 25
5 и 12	13	25 + 144 = 169
8 и 15	17	64 + 225 = 289
7 и 24	25	49 + 576 = 625
20 и 21	29	400 + 441 = 841

Если все длины умножить на одно положительное число, соотношение сохранится. Например, тройка 3, 4, 5 превращается в 6, 8, 10 при умножении на 2. Удвоение только одной стороны такого свойства не имеет.

Самостоятельная работа

Сначала подпишите неизвестную сторону и её роль в прямоугольном треугольнике. Запишите равенство квадратов, выполните вычисление и проверьте результат. В заданиях с длинами используются сантиметры, если не указано другое.

Гипотенуза и катет

В первых шести заданиях прямой угол уже дан. Определите, нужно ли складывать квадраты известных сторон или вычитать:

1. Катеты равны 9 и 12. Найдите гипотенузу.
2. Катеты равны 7 и 24. Найдите гипотенузу.
3. Гипотенуза равна 17, катет — 8. Найдите другой катет.
4. Гипотенуза равна 10, катет — 6. Найдите другой катет.
5. Оба катета равны 4. Найдите гипотенузу в точном виде.
6. Гипотенуза равна 9, катет — 5. Найдите другой катет в точном виде.

Другие фигуры

В следующих заданиях сначала назовите выделенный прямоугольный треугольник и объясните, откуда известен прямой угол:

7. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 6 и 8.
8. Найдите диагональ квадрата со стороной 7.
9. Найдите сторону ромба с диагоналями 16 и 12.
10. Найдите высоту равнобедренного треугольника к основанию, если боковая сторона равна 13, а основание — 10.
11. В треугольнике ABC угол C прямой, AC = 12 и BC = 16. Найдите AB.

Проверка условий

Здесь требуется установить возможность применения теоремы или составить прямоугольный треугольник по координатам:

12. Является ли треугольник со сторонами 5, 12 и 13 прямоугольным?
13. Является ли треугольник со сторонами 7, 8 и 10 прямоугольным?
14. Могут ли катеты 5 и 5 соответствовать гипотенузе 10?
15. Найдите расстояние между A(1; 2) и B(4; 6) в координатных единицах.

Ответы и объяснения

Сравнивайте точный результат и способ его получения. Если ответ содержал корень, проверьте, не упрощается ли он выделением полного квадрата. Единицы длины в первых одиннадцати заданиях — сантиметры.

1. 15: √(81 + 144) = √225.
2. 25: √(49 + 576) = √625.
3. 15: √(289 − 64) = √225.
4. 8: √(100 − 36) = √64.
5. 4√2: √(16 + 16) = √32.
6. 2√14: √(81 − 25) = √56.
7. 10: диагональ является гипотенузой при катетах 6 и 8.
8. 7√2: √(49 + 49) = √98.
9. 10: половины диагоналей равны 8 и 6.
10. 12: половина основания равна 5, высота равна √(169 − 25).
11. 20: AB — гипотенуза, AB² = 144 + 256 = 400.
12. Да, поскольку 5² + 12² = 13².
13. Нет, поскольку 7² + 8² ≠ 10².
14. Нет. Для этих катетов гипотенуза равна √50 = 5√2, а не 10.
15. 5 единиц: разности координат равны 3 и 4.

Для дополнительной тренировки придумайте две задачи с ответом 13. В первой пусть 13 является гипотенузой, во второй — найденным катетом. Подберите исходные данные, запишите формулу и проверьте, что все длины положительны, а гипотенуза действительно самая длинная.

Проверочный список решения

Начните проверку с чертежа. Правильная арифметика не исправляет неверно выбранный треугольник или неправильное название стороны. В записи должно быть видно, откуда взялся прямой угол.

Дальше проверьте основные пункты:

• Прямой угол дан или обоснован.
• Гипотенуза выбрана напротив прямого угла.
• При её поиске квадраты катетов сложены.
• При поиске катета из квадрата гипотенузы вычтен квадрат другого катета.
• Все длины переведены в одинаковые единицы до вычислений.
• Подставлены стороны именно выбранного треугольника, включая половины диагоналей или основания там, где это требуется.
• Извлечён положительный корень, а в ответе указана единица длины.
• Гипотенуза длиннее каждого катета.
• Точный ответ удовлетворяет равенству квадратов; приближение округлено с нужной точностью.

Последовательное решение связывает рисунок, формулу и проверку. Если на каждом шаге понятно, какой отрезок ищется и почему выбранное действие допустимо, теорема Пифагора становится удобным инструментом для разных геометрических задач.