Второй закон Ньютона: силы на схеме и выбор осей

Что означает второй закон Ньютона

Сила меняет скорость тела: её величину, направление или оба свойства одновременно. Ускорение описывает это изменение скорости. Поэтому связь между результирующей силой и ускорением нельзя заменить утверждением «сила всегда направлена туда, куда тело движется».

Для материальной точки или поступательного движения тела постоянной массы в инерциальной системе записывают векторное уравнение ΣF = m × a. Символ Σ означает сумму всех внешних сил, действующих на выбранное тело. Ускорение направлено по результирующей силе, а не обязательно по каждой из отдельных сил.

Массу выражают в килограммах, ускорение — в м/с², силу — в ньютонах. Один ньютон соответствует 1 кг × м/с². Если в условии масса дана в граммах, переведите её в килограммы до подстановки. Формула с числом 500 вместо 0,5 при массе 500 г даст ошибку в тысячу раз.

Векторная формулировка и её связь с суммарной силой приведены в разделе OpenStax о втором законе Ньютона. Ниже все численные ситуации придуманы для учебного разбора; они не являются отчётами об измерениях.

Если ΣF = 0, ускорение равно нулю. Тело может покоиться или двигаться с постоянной скоростью по прямой. Нулевая сумма сил сама по себе не определяет, какой из этих случаев происходит: нужна начальная скорость.

Как связаны три закона Ньютона

Перед построением схемы полезно различить назначение законов. Первый помогает определить условия сохранения скорости и понятие инерциальной системы. Второй связывает ускорение с суммой сил. Третий описывает взаимное действие двух тел.

Инерциальной называют систему отсчёта, в которой свободное тело сохраняет постоянную скорость. В школьных задачах систему, связанную с неподвижным полом или лабораторным столом, обычно считают инерциальной в пределах принятого приближения. Ускоряющуюся кабину нельзя автоматически считать такой системой; проще выбрать систему, связанную с Землёй, и учитывать ускорение тела в ней.

Первый закон не требует, чтобы каждая сила отдельно была равна нулю. Книга на столе испытывает действие Земли и стола; их сумма может быть нулевой. Условия применения первого закона обсуждаются в учебном разделе об инерциальных системах.

По третьему закону, если тело А действует на Б, то Б действует на А с силой той же величины и противоположного направления. Силы приложены к разным телам. На схеме одного тела из пары присутствует только та сила, которая действует именно на него. Это различие показано в разделе OpenStax о третьем законе.

Например, Земля притягивает брусок, а брусок притягивает Землю. Для уравнения бруска берут силу Земли на брусок. Сила бруска на Землю не становится второй стрелкой на том же рисунке. Реакция стола и сила тяжести могут уравновешиваться на бруске, но они не составляют пару третьего закона: у них разные источники взаимодействия.

Выбираем тело и строим схему сил

Начните с фразы «рассматриваю брусок». Она задаёт границу задачи. Затем перечислите, с чем он взаимодействует: Земля, поверхность, нить, рука, воздух. Для каждого существенного взаимодействия добавьте силу, действующую на брусок. Исключённые условием воздействия, например сопротивление воздуха, не включайте.

На схеме замените тело точкой или простым прямоугольником. Из него проведите стрелки сил и подпишите их. Такая схема предназначена для движения выбранного тела и не изображает все силы во всей комнате. Общие правила приведены в разделе о построении схем сил.

Для бруска на горизонтальном столе, который тянут вправо и который скользит относительно стола вправо, возможны четыре силы: тяжесть вниз, реакция опоры вверх, сила тяги вправо, трение скольжения влево. Сила трения противодействует относительному скольжению поверхностей; это точнее, чем «трение всегда направлено против движения в любой системе».

Ниже изображена схема именно этого условного случая. Стрелки x и y обозначают положительные направления осей; они не являются силами.

             N
             ↑       +y ↑
   Fтр  ←  [брусок]  → Fтяги
             ↓           +x →
             mg

Стрелку скорости или ускорения можно показать отдельно и ясно подписать. Нельзя добавить «силу движения» только потому, что тело движется. Также не надо прибавлять результирующую как ещё одну силу поверх уже нарисованных: результирующая — их сумма, а не дополнительное взаимодействие.

Выбор осей и запись проекций

Оси выбирают так, чтобы разложение сил было удобным. Для горизонтального стола естественно направить x вдоль движения по столу, y — вертикально. Для наклонной плоскости часто удобнее направить x вдоль плоскости, y — перпендикулярно ей.

Вдоль оси сила имеет положительную проекцию, против оси — отрицательную; перпендикулярная сила имеет нулевую проекцию. При наклонном направлении нужно найти составляющую, а не подставить всю величину силы в одно уравнение. Знак присваивают после выбора положительного направления.

Для горизонтального случая на рисунке получаем по x: Fтяги − Fтр = m × aₓ. По y: N − mg = m × aᵧ. Если брусок сохраняет контакт с неподвижным горизонтальным столом и вертикально не ускоряется, aᵧ = 0, откуда N = mg. Это результат условий и уравнения, а не правило для любого движения.

Можно направить x влево. Тогда уравнение будет Fтр − Fтяги = m × aₓ, а найденное aₓ сменит знак. Физическое направление ускорения останется тем же. Чтобы сравнивать ответы, нужно знать направления осей в обоих решениях.

Полезно составить таблицу до вычислений. Она относится к рисунку с x вправо и y вверх.

Сила	Проекция на x	Проекция на y
Горизонтальная тяга	+Fтяги	0
Трение при скольжении вправо	−Fтр	0
Реакция горизонтальной опоры	0	+N
Сила тяжести	0	−mg

Пример: брусок на горизонтальном столе

В условной задаче брусок массой 2 кг скользит вправо. Его тянут горизонтально с силой 7 Н, сила трения скольжения равна 3 Н. Стол неподвижен, сопротивлением воздуха пренебрегают. Для вычисления силы тяжести принято g = 10 м/с²; это округлённое значение для задач ниже, а не результат измерения.

Выбираем x вправо, y вверх. По горизонтали действуют 7 Н вправо и 3 Н влево. Результирующая проекция равна 7 − 3 = 4 Н. Ускорение: aₓ = 4 / 2 = 2 м/с², направлено вправо.

По вертикали aᵧ = 0. Получаем N = mg = 2 × 10 = 20 Н. Вертикальные силы сократились в сумме потому, что равны и противоположны на одном теле. Горизонтальные силы не сократились: их величины различны.

Ответ удобно оформить в три строки: «ΣFₓ = 4 Н; aₓ = 2 м/с²; N = 20 Н». Затем пояснить направление. Запись только «2» без единиц и оси не позволяет понять физический результат.

Если при тех же условиях тяга составляет 3 Н, сумма по x равна нулю. Брусок, уже скользивший вправо, может продолжать равномерное движение в рамках модели с заданным трением. Из равенства сил нельзя заключить, что он обязательно остановился.

Если тяга равна 1 Н при трении 3 Н, aₓ = (1 − 3) / 2 = −1 м/с². Пока скорость направлена вправо, тело замедляется. После остановки нельзя без нового анализа продолжать ту же модель трения скольжения: характер взаимодействия может измениться.

Трение покоя и трение скольжения

В задачах часто дают коэффициент трения и предлагают сразу записать Fтр = μN. Перед этим нужно установить, скользят ли поверхности относительно друг друга и какой коэффициент указан. Для тела, которое остаётся неподвижным, равенство с максимальной силой обычно не подходит.

В простой модели сухого трения величина трения скольжения равна μкN. Для трения покоя выполняется 0 ≤ Fтр ≤ μсN: сила подстраивается под условия равновесия до предельной величины. Различие этих случаев разобрано в разделе OpenStax о трении.

Условный брусок массой 2 кг стоит на горизонтальной поверхности; μс = 0,40, g = 10 м/с², других вертикальных сил нет. Реакция опоры равна 20 Н, максимальное трение покоя — 0,40 × 20 = 8 Н. Если горизонтально тянуть с силой 5 Н и брусок сохраняет покой, фактическое трение равно 5 Н, а не 8 Н.

Если тяга превысила 8 Н, равновесие за счёт трения покоя в этой модели невозможно. Для расчёта ускорения после начала скольжения нужен коэффициент трения скольжения или сама сила трения. Нельзя молча считать μк равным μс, если это не задано.

Направление трения покоя определяют по тенденции относительного скольжения, которое оно предотвращает. У движущейся без проскальзывания системы поверхность контакта может не скользить, поэтому один факт движения тела не доказывает наличие трения скольжения.

Если сила тяги направлена под углом

Наклонная тяга имеет горизонтальную и вертикальную составляющие. Поэтому она может одновременно влиять на ускорение вдоль поверхности и на реакцию опоры. Это хороший способ проверить, понимаете ли вы происхождение равенства N = mg.

Пусть в условной задаче брусок массой 2 кг тянут силой 10 Н под углом 30° вверх к горизонтали. Он сохраняет контакт со столом, aᵧ = 0, g = 10 м/с², μк = 0,20, брусок скользит вправо. Горизонтальная составляющая тяги равна F cos 30°, вертикальная — F sin 30°.

По y: N + F sin 30° − mg = 0. Отсюда N = 20 − 10 × 0,50 = 15 Н. Трение скольжения равно 0,20 × 15 = 3 Н. По x: 10 cos 30° − 3 = 2aₓ, поэтому aₓ ≈ (8,660 − 3) / 2 ≈ 2,83 м/с².

Если без проверки подставить N = 20 Н, трение получится 4 Н, а ускорение будет другим. Ошибка возникает ещё до деления на массу: вертикальная составляющая тяги была забыта на схеме.

При тяге вниз вертикальная составляющая увеличивала бы реакцию опоры в аналогичных условиях. Если расчёт для тяги вверх дал N < 0, поверхность не может обеспечить требуемую отрицательную реакцию: предположение о контакте надо пересмотреть. Нельзя выдавать отрицательное N за обычную силу опоры стола.

Наклонная плоскость: оси вдоль поверхности

На наклонной плоскости удобно разложить силу тяжести относительно поверхности. Обозначим угол плоскости к горизонтали через α. Если x направлена вниз по склону, составляющая тяжести вдоль неё равна mg sin α, а составляющая к поверхности — mg cos α.

В простейшем условном случае тело массой 2 кг скользит вниз по плоскости с углом 30°, μк = 0,20, g = 10 м/с². Других сил, кроме тяжести, опоры и трения, нет. Перпендикулярное ускорение нулевое, поэтому N = mg cos 30° ≈ 17,32 Н.

Трение направлено вверх по плоскости и равно μкN ≈ 3,464 Н. Уравнение вдоль x: mg sin 30° − μкmg cos 30° = maₓ. После деления на массу получаем aₓ = g(sin 30° − μк cos 30°) ≈ 3,27 м/с².

В этом расчёте масса сократилась при заданном коэффициенте сухого трения. Это свойство конкретной модели. Нельзя переносить его на любую задачу с сопротивлением или на движение с дополнительной силой, которая не пропорциональна массе.

Если тело скользит вверх, сила тяжести вдоль выбранной оси остаётся направленной вниз, а трение также направлено вниз по склону. Знаки нужно установить заново по направлению скольжения. Использовать готовое «минус трение» из задачи о движении вниз без рисунка опасно.

Измерение ускорения по расстоянию и времени — отдельная экспериментальная задача. Его оформление показано в материале о том, как определить ускорение на наклонной плоскости. Схема сил объясняет причину ускорения, а эксперимент проверяет движение в пределах точности измерений.

Вертикальное движение и показания опоры

Для вертикального движения удобно выбрать y вверх. Если тело стоит на горизонтальной опоре в кабине, которая ускоряется, в системе отсчёта Земли тело имеет то же вертикальное ускорение, пока контакт сохраняется. Сумма сил на теле записывается как N − mg = maᵧ.

В условной задаче масса тела 3 кг, ускорение кабины вверх 2 м/с², g = 10 м/с². Получаем N = m(g + aᵧ) = 3 × 12 = 36 Н. При ускорении вниз 2 м/с² aᵧ = −2 м/с² и N = 3 × 8 = 24 Н.

Направление скорости кабины не заменяет направление ускорения. Кабина может двигаться вверх и замедляться: тогда ускорение направлено вниз, и реакция опоры будет меньше mg при прочих заданных условиях. Ответ «кабина едет вверх, поэтому N больше» без сведений об ускорении недостаточен.

Если aᵧ = −g, в этой модели N = 0. Это случай отсутствия давления на опору при совместном свободном падении, а не исчезновения силы тяжести. Сила тяжести mg продолжает входить в уравнение движения.

В русской школьной терминологии весом часто называют силу, с которой тело действует на опору или подвес. Сила тяжести действует на само тело со стороны Земли. Показания идеализированного силового датчика опоры связаны с величиной N; равенство этой величины mg требует соответствующих условий движения.

Как проверить решение до окончательного ответа

Проверка начинается с физического смысла. Для каждой стрелки назовите источник силы и тело, на которое она действует. Если на рисунке появилась сила без взаимодействия, например «сила скорости», её нужно убрать. Если сила действует на соседнее тело, ей нужна отдельная схема.

Затем просмотрите проекции. При оси вверх сила тяжести имеет отрицательную проекцию. При оси вниз — положительную. Компоненты наклонной силы должны соответствовать указанному углу: к горизонтали используют cos для горизонтальной составляющей и sin для вертикальной.

Проверьте размерность: Н / кг = м/с². Подставьте результат обратно в уравнение. В горизонтальном примере m × aₓ = 2 × 2 = 4 Н, что равно 7 − 3. Если сумма сил направлена вправо, а вычисленное ускорение при оси вправо получилось отрицательным, ищите ошибку знака или арифметики.

Отдельно оцените допущения. Сохраняется ли контакт? Задано ли скольжение? Есть ли основание считать aᵧ = 0? Можно ли пренебречь сопротивлением воздуха? Эти вопросы определяют применимость формул, а не служат украшением решения.

Задания для самостоятельной работы

Все ситуации ниже — условные задачи. Используйте g = 10 м/с², постоянные массы и инерциальную систему отсчёта Земли. Для горизонтальных брусков контакт со столом сохраняется. Сопротивление воздуха не учитывается. Укажите оси и направление ускорения там, где его требуется найти.

1. Масса тела 500 г, результирующая горизонтальная сила направлена вправо и равна 1,5 Н. Найдите ускорение при оси x вправо.
2. Брусок массой 4 кг скользит вправо: тяга 14 Н вправо, трение 6 Н влево. Найдите aₓ и реакцию горизонтального стола.
3. Брусок массой 2 кг движется вправо, но тяга 1 Н, а трение скольжения 3 Н. Найдите aₓ при оси вправо и объясните изменение скорости до остановки.
4. На неподвижный брусок массой 2 кг действует горизонтальная тяга 5 Н; μс = 0,40. Может ли он сохранять покой? Найдите фактическое трение и его предел в модели.
5. Тело массой 2 кг тянут вверх под углом 30° к горизонтали силой 10 Н. Оно скользит вправо, μк = 0,20. Найдите N, трение и ускорение.
6. Тело скользит вниз по плоскости с углом 30°, μк = 0,20. Найдите ускорение вдоль склона; используйте sin 30° = 0,50, cos 30° ≈ 0,866.
7. Тело массой 3 кг находится на опоре кабины, ускоряющейся вверх с 2 м/с². Найдите N. Каким будет N при ускорении вниз с той же величиной?
8. Сумма сил на тело равна нулю. Можно ли утверждать, что тело покоится? Что известно о его ускорении и скорости?
9. Земля притягивает брусок, а брусок притягивает Землю. Нужно ли сложить обе силы в уравнении бруска? Объясните, на какие тела они действуют.
10. Исправьте решение: «На наклонной плоскости N = mg; трение всегда равно μсN; ускорение обязательно направлено по скорости». Назовите условия и различия, которые пропущены.

Ответы

Сверяйте не только величину ускорения, но и знаки, единицы и условия применения. Отрицательная проекция при явно выбранной оси может быть правильным ответом: она сообщает направление относительно оси.

1. 500 г = 0,5 кг. aₓ = 1,5 / 0,5 = 3 м/с² вправо. Подстановка массы в граммах без перевода была бы ошибкой.
2. aₓ = (14 − 6) / 4 = 2 м/с² вправо. По вертикали N = mg = 40 Н, поскольку других вертикальных сил и вертикального ускорения нет.
3. aₓ = (1 − 3) / 2 = −1 м/с². При скорости вправо тело замедляется до остановки; после неё условия трения требуют нового анализа.
4. N = 20 Н, предел трения покоя — 8 Н. Покой возможен при заданной тяге 5 Н, фактическое трение равно 5 Н и направлено против тяги.
5. N = 20 − 10 × 0,50 = 15 Н; Fтр = 3 Н; aₓ = (10 × 0,866 − 3) / 2 ≈ 2,83 м/с² вправо.
6. aₓ = 10(0,50 − 0,20 × 0,866) = 3,268 ≈ 3,27 м/с² вниз по склону. Трение направлено вверх, поскольку тело скользит вниз.
7. При ускорении вверх N = 3(10 + 2) = 36 Н. При ускорении вниз N = 3(10 − 2) = 24 Н. Масса и сила тяжести в двух случаях одинаковы.
8. Ускорение нулевое, скорость постоянна. Это может быть нулевая скорость или ненулевая скорость прямолинейного движения. Начальное состояние не задано.
9. Нет. Сила Земли действует на брусок, обратная сила — на Землю. Для уравнения бруска берут первую; пара третьего закона не сокращается на схеме одного тела.
10. При отсутствии других сил поперёк неподвижной плоскости и нулевом поперечном ускорении N = mg cos α. Трение покоя может быть меньше μсN; для скольжения используют μк. Ускорение направлено по сумме сил и может быть противоположно скорости.

Самопроверка

Закройте вычисления и попробуйте восстановить уравнения по своему рисунку. Если это невозможно, схема не содержит достаточных подписей. На ней должны быть выбранное тело, все существенные внешние силы, направления осей и отдельное обозначение ускорения, если оно показано.

Проверьте, что силы относятся к одному телу; результирующая не добавлена как лишняя сила; массы переведены в килограммы; проекции имеют знаки; N найдено из поперечного уравнения; вид трения установлен; направление скорости не подменяет направление ускорения; отрицательный результат истолкован относительно выбранной оси.

Хорошее решение связывает взаимодействия с движением через схему и уравнения. Даже когда ответ получается коротким, запись «выбрал тело → показал силы → выбрал оси → записал проекции → проверил условия» позволяет объяснить, откуда взялись каждое число и каждый знак.