Задачи на движение навстречу друг другу: схема и решение

Что показано на схеме

Перед вычислением нарисуйте два пункта и линию между ними. От каждого пункта направьте стрелку к середине: участники движутся навстречу. Над линией укажите исходное расстояние, рядом со стрелками — скорости. Место встречи пока неизвестно; его можно отметить вопросительным знаком.

Пункт А                              Пункт Б
   ● ──────────── ? ─────────────── ●
        → 60 км/ч     75 км/ч ←
       всего между пунктами 270 км

На такой схеме видно, что каждый участник проходит свою часть расстояния между пунктами. Если за один час первый преодолел 60 км, а второй 75 км, разрыв между ними сократился на 60 + 75 = 135 км. Они ещё не прошли одинаковые расстояния, хотя двигались одинаковое время: скорости различаются.

Схема нужна не для красоты. Она помогает проверить, из разных ли пунктов вышли участники, направлены ли они друг к другу и в один ли момент начали движение. Если одно условие изменится, решение тоже может измениться.

Почему скорости складываются

Представьте, что расстояние между городами равно 270 км. Через час первый автомобиль окажется на 60 км ближе к другому городу, а второй — на 75 км ближе к первому. Между ними останется 270 − 60 − 75 = 135 км. За следующий час разрыв уменьшится ещё на 135 км и станет нулевым.

Сумму 60 + 75 = 135 км/ч называют скоростью сближения. Это не скорость какого-то третьего автомобиля. Она показывает, насколько быстро уменьшается расстояние между двумя участниками. Поэтому делить исходное расстояние нужно именно на эту сумму: 270 ÷ 135 = 2 часа.

Проверим, где они встретятся. Первый за 2 часа проедет 60 × 2 = 120 км, второй — 75 × 2 = 150 км. Сумма 120 + 150 = 270 км возвращает расстояние между пунктами. Если бы получилось 250 или 300 км, в вычислениях была бы ошибка.

Порядок решения без заучивания формулы

Формула удобна, когда ребёнок понимает схему. В новой задаче лучше сначала проговорить происходящее, а потом записывать действия. Так меньше риск сложить или вычесть числа только потому, что они стоят рядом в условии.

1. Найдите первоначальное расстояние между участниками и отметьте его на схеме.
2. Проверьте, что они движутся навстречу и начали одновременно.
3. Сложите скорости: это уменьшение расстояния за единицу времени.
4. Разделите исходное расстояние на скорость сближения: получится время до встречи.
5. Если требуется место встречи, умножьте скорость каждого на найденное время.
6. Сложите их пути и сравните результат с первоначальным расстоянием.

В короткой школьной записи шаги могут выглядеть как два действия и ответ. Однако устное объяснение «почему сложили скорости?» делает решение осмысленным. Если ребёнок пока не может ответить, вернитесь к рисунку и рассмотрите первый час движения.

Пример с велосипедистами

Из двух посёлков одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Между посёлками 36 км. Первый едет со скоростью 10 км/ч, второй — 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся и сколько километров проедет каждый?

За час расстояние между ними уменьшается на 10 + 8 = 18 км. Следовательно, время до встречи равно 36 ÷ 18 = 2 часа. Первый за это время проедет 10 × 2 = 20 км, второй — 8 × 2 = 16 км. Проверка: 20 + 16 = 36 км.

Нельзя делить 36 км только на скорость первого и затем считать, что полученное время подходит обоим. Пока первый едет, второй тоже приближается. И нельзя считать, что место встречи находится ровно посередине: более быстрый велосипедист проходит за те же 2 часа больший путь.

Если спрашивают оставшееся расстояние

Иногда встречу искать не нужно. Условие может спросить, сколько километров останется между участниками через один или несколько часов. Пока они ещё не встретились, из исходного расстояния вычитают путь обоих: остаток = исходное расстояние − (сумма скоростей × время).

Например, между машинами 400 км, их скорости 60 и 40 км/ч, они выехали одновременно навстречу. За 3 часа разрыв сократится на (60 + 40) × 3 = 300 км; останется 100 км. Встреча произойдёт через 400 ÷ 100 = 4 часа, поэтому через 3 часа участники действительно ещё не встретились.

Проверяйте этот последний факт. Если подставить время больше времени встречи в ту же формулу, можно получить отрицательное «расстояние». Такое число показывает, что участники уже встретились, а условие требует рассматривать их дальнейшее движение отдельно. Для школьной задачи о сближении формула действует до момента встречи.

Если один участник вышел раньше

В этом случае сначала нужно учесть время, когда двигался только один участник. Складывать скорости с самой первой минуты нельзя, потому что второй ещё стоял в своём пункте. После его выхода задача снова становится обычной задачей о встречном движении, но расстояние между участниками уже меньше первоначального.

Пример: между пунктами 160 км. Первый автомобиль выехал со скоростью 40 км/ч, а второй отправился ему навстречу через час со скоростью 20 км/ч. За первый час первый прошёл 40 км; между автомобилями осталось 160 − 40 = 120 км. После выхода второго расстояние уменьшается на 40 + 20 = 60 км за час. Они встретятся через 120 ÷ 60 = 2 часа после выезда второго, то есть через 3 часа после выезда первого.

Для проверки найдём пройденные пути. Первый двигался 3 часа и преодолел 40 × 3 = 120 км. Второй двигался 2 часа и прошёл 20 × 2 = 40 км. Вместе 160 км. В ответе обязательно уточните, от какого события считали время: иначе числа 2 и 3 оба выглядят правильными, но отвечают на разные вопросы.

Как работать с метрами и минутами

Правило не зависит от выбранных единиц, если они согласованы. Если расстояние дано в метрах, а скорость — в метрах в минуту, время получится в минутах. Например, между пешеходами 900 м; один идёт со скоростью 60 м/мин, другой — 90 м/мин. Скорость сближения 150 м/мин, поэтому встреча произойдёт через 900 ÷ 150 = 6 минут.

За 6 минут первый пройдёт 60 × 6 = 360 м, второй — 90 × 6 = 540 м. Проверка: 360 + 540 = 900 м. Не переводите числа в километры и часы только по привычке: здесь исходные единицы уже подходят друг другу. Перевод нужен, когда в одном условии смешаны, например, километры и метры либо часы и минуты.

Подписи единиц в ответе обязательны. Число 6 само по себе не сообщает, идёт ли речь о минутах или часах; число 360 без единицы может означать и путь, и скорость. Аккуратная запись помогает заметить ошибку ещё до проверки по ответам.

Когда скорости не надо складывать

Сумма скоростей относится к участникам, которые движутся навстречу друг другу одновременно. Если один догоняет другого в том же направлении, расстояние между ними уменьшается иначе: важна разность скоростей при подходящих условиях. Если один стоит на месте, его скорость равна нулю. Если участники расходятся из одной точки, расстояние между ними растёт, а не уменьшается.

Сначала прочитайте слова условия, затем нарисуйте стрелки. Фраза «из двух городов» ещё не доказывает, что они едут навстречу: можно выехать из городов в одну сторону. Фраза «одновременно» важна для общего времени движения, но тоже не заменяет направления.

В задачах со скоростью, временем и расстоянием вообще полезно сначала решить, какая величина неизвестна. Отдельное объяснение выбора действия есть в материале «Как выбрать действие в задаче на скорость, время и расстояние». Встречное движение добавляет к этому сравнению две скорости и общий момент встречи.

Тренировка с ответами

Решите задачи сначала по схемам. Не записывайте формулу сразу: отметьте направление движения и время старта. После решения проверьте место встречи сложением пройденных путей.

1. Между посёлками 180 км. Одновременно навстречу выехали автомобили со скоростями 40 и 50 км/ч. Когда они встретятся и какой путь проедет каждый?
2. Между станциями 252 км. Два поезда начали встречное движение одновременно со скоростями 54 и 30 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
3. Между пешеходами 360 м. Они идут навстречу со скоростями 40 и 50 м/мин. Сколько минут осталось до встречи и сколько метров пройдёт каждый?
4. Между машинами 400 км, скорости 60 и 40 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Теперь сравните решения. В первой задаче скорость сближения 90 км/ч; время 180 ÷ 90 = 2 часа; пути 80 и 100 км. Во второй сумма скоростей 84 км/ч; время 252 ÷ 84 = 3 часа; для дополнительной проверки пути равны 162 и 90 км. В третьей скорость сближения 90 м/мин; время 360 ÷ 90 = 4 минуты; пути 160 и 200 м. В четвёртой за 3 часа расстояние уменьшится на 300 км, останется 100 км.

Если ответ не совпал, сначала посмотрите на единицы. Частая ошибка — сложить 40 км/ч и 50 м/мин как простые числа. Другая причина — поделить исходное расстояние на скорость только одного участника. После исправления вновь сложите пути: на момент встречи их сумма должна равняться расстоянию между пунктами.

Проверочный список

Перед тем как сдавать задачу, ребёнку полезно проверить несколько условий. Каждый пункт указывает не на оформление ради оформления, а на смысл вычисления.

• На схеме есть два исходных пункта и стрелки, направленные друг к другу.
• Отмечено, одновременно ли начали движение оба участника.
• Скорости записаны в одинаковых единицах, а их сумма названа скоростью сближения.
• Найденное время относится именно к моменту встречи или к тому моменту, о котором спросили.
• Пройденные до встречи пути в сумме дают первоначальное расстояние.
• В ответе указаны единицы и, при разном времени старта, точка отсчёта времени.

Если один пункт не выполняется, вернитесь к условию и схеме. Удачное решение здесь начинается с представления о движении: оба участника сокращают расстояние между собой, и сумма их путей к моменту встречи заполняет весь промежуток между пунктами.