Задачи на цену, количество и стоимость: схема решения для 3 класса

Слова «купили», «рублей» и «по» помогают понять ситуацию, но не выбирают действие автоматически. Выражение 60 : 5 может означать цену одной вещи, если 60 рублей заплатили за пять одинаковых вещей; а может означать количество вещей, если каждая стоит 5 рублей. Поэтому перед вычислением полезно нарисовать три клетки: цена, количество, стоимость — и вписать известные величины с единицами.

Что записывать в схеме

Одна строка схемы относится к одному виду одинаковых предметов. Для восьми тетрадей по 6 рублей запись выглядит так: цена — 6 руб./тетрадь, количество — 8 тетрадей, стоимость — ? рублей. Можно не использовать сокращение «руб./тетрадь» в тетради; важно своими словами сказать «одна тетрадь стоит 6 рублей». Тогда видно, почему восемь таких цен складываются или умножаются на восемь.

Во второй строке стоимость получена как 9 × 4 = 36 рублей. Если теперь спрашивают цену всей покупки, складывают 48 + 36 = 84 рубля. Если спрашивают, на сколько тетради вместе дороже карандашей вместе, вычисляют 48 − 36 = 12 рублей. При одинаковых исходных строках итоговое действие меняется из-за вопроса.

Таблица удобна не только для ответа: она защищает от смешения чисел. Нельзя умножить цену одной тетради на количество карандашей, если задача не говорит о такой покупке. Нельзя сложить 6 рублей за тетрадь и 8 тетрадей: у чисел разные единицы и роли.

Три основные связи

Из трёх величин две определяют третью, если речь идёт об одинаковых предметах по одной цене. Проговорите каждую связь без буквенной формулы, затем попробуйте записать её короче. Проверить действие помогает обратный вопрос: «Если известно столько рублей за все вещи, сколько приходится на одну?»

1. Стоимость = цена × количество. Три одинаковые ручки по 7 рублей стоят 7 × 3 = 21 рубль.
2. Цена = стоимость : количество. За три одинаковые ручки заплатили 21 рубль, значит, одна стоит 21 : 3 = 7 рублей.
3. Количество = стоимость : цена. За ручки по 7 рублей заплатили 21 рубль, значит, купили 21 : 7 = 3 ручки.

Эти записи работают, если цена каждой вещи в группе одинакова. Если одна ручка стоит 7 рублей, а другая 10, деление общей суммы на число ручек даст среднюю цену, но не точную цену каждой. В школьной задаче с разными ценами составьте отдельные строки, а не заполняйте одну строку тремя несовместимыми числами.

Как выбрать действие по вопросу

Прочитайте последнее предложение задачи до вычисления. Если спрашивают «сколько стоит вся покупка?», найдите стоимости частей и сложите. Если спрашивают «на сколько дороже?», найдите обе стоимости и вычтите меньшую из большей. Если спрашивают «сколько сдачи?», сравните деньги, которые дали продавцу, с ценой покупки. Иногда для ответа нужно два или три действия.

Например, в задаче «Купили 5 блокнотов по 12 рублей и дали 100 рублей. Сколько сдачи?» сначала 12 × 5 = 60 рублей — стоимость блокнотов, затем 100 − 60 = 40 рублей — сдача. Ответ 60 рублей верен как промежуточное вычисление, но не отвечает на поставленный вопрос. Чтобы заметить такую ошибку, подпишите каждый результат: «покупка» и «сдача».

Слово «дороже» тоже требует внимания. «Одна тетрадь дороже одного карандаша на 3 рубля» — сравнение цен. «Все тетради дороже всех карандашей на 3 рубля» — сравнение стоимостей двух покупок. Число может быть тем же, но схема будет другой. Подчеркните в условии «одна» или «все», прежде чем выбирать действие.

Разбор задачи с двумя покупками

Пусть купили 6 карандашей по 8 рублей и 4 ластика по 7 рублей. Нужно найти, сколько заплатили за все предметы. Условия дают две отдельные группы: одинаковые карандаши и одинаковые ластики. Запишите в таблицу по строке на каждую, чтобы не умножить 6 на 7 и 4 на 8 по ошибке.

Стоимость карандашей: 8 × 6 = 48 рублей. Стоимость ластиков: 7 × 4 = 28 рублей. Вся покупка: 48 + 28 = 76 рублей. Проверка оценкой: обе части меньше 50 рублей, поэтому общая стоимость меньше 100 рублей и больше 48 рублей. Ответ 76 этому соответствует. Если ученик получил 20 рублей, он, вероятно, сложил цены и количества без учёта групп.

Теперь изменим вопрос, не меняя условие: «На сколько рублей карандаши вместе дороже ластиков вместе?» Первые два действия остаются, последнее меняется: 48 − 28 = 20 рублей. Разница цен одной вещи здесь 8 − 7 = 1 рубль, но она не отвечает на новый вопрос о всей группе. Хороший способ проверки — повторить итоговое предложение вместе с найденным числом: «Карандаши вместе дороже ластиков вместе на 20 рублей».

Задачи с одинаковой стоимостью

Иногда в условии сказано, что две покупки обошлись одинаково. Тогда одинаковой является стоимость всех предметов каждой группы, но цены и количества могут различаться. Не делайте вывод, что один предмет стоит одинаково в обеих группах. Сначала найдите общую стоимость одной группы, затем используйте её для другой.

Пример: за 3 одинаковых альбома по 20 рублей заплатили столько же, сколько за 5 одинаковых папок. Сколько стоит одна папка? Альбомы вместе стоят 20 × 3 = 60 рублей. Столько же стоят пять папок, поэтому одна папка стоит 60 : 5 = 12 рублей. Проверка: 12 × 5 = 60 рублей, стоимости совпадают.

Если ребёнок сразу делит 20 на 5, он сравнивает цену одного альбома с количеством папок, хотя в условии приравнены суммы покупок. Нарисуйте две полоски одинаковой длины: первую разделите на три части по 20 рублей, вторую — на пять равных неизвестных частей. Рисунок показывает, почему сначала нужно узнать длину целой полоски.

Упражнения на одну группу предметов

В каждой строке найдите неизвестную величину и подпишите единицу. После ответа выполните обратную проверку. Например, найденную цену умножьте на количество и сравните с заданной стоимостью. Не ограничивайтесь числом без пояснения: «8» может означать рублей, штук или десятки рублей.

Набор А. 1) 7 закладок по 6 рублей. Найдите стоимость. 2) 8 одинаковых открыток стоят 72 рубля. Найдите цену одной. 3) Клей стоит 9 рублей за тюбик. Сколько тюбиков можно купить на 54 рубля? 4) 6 одинаковых папок стоят 48 рублей. Найдите цену одной. 5) Линейка стоит 7 рублей. Сколько стоят 9 таких линеек?

Набор Б. Восстановите вопрос к условию и выражению. 1) «Пять одинаковых маркеров стоят 60 рублей; 60 : 5». 2) «Тетрадь стоит 8 рублей; 8 × 7». 3) «За одинаковые кисточки заплатили 56 рублей; одна стоит 7 рублей; 56 : 7». Вопрос должен точно соответствовать найденной величине, а не просто содержать слово «сколько».

Набор В. Найдите неверную запись и исправьте: «4 книги по 15 рублей стоят 15 + 4 = 19 рублей»; «Цена одной вещи 12 рублей, стоимость трёх таких вещей 36 рублей»; «За 8 одинаковых вещей заплатили 64 рубля, одна стоит 64 : 8 = 8 рублей». Объясните ошибку в первой записи через четыре равные цены, а не только через правило «надо умножать».

Составные задачи для самостоятельной работы

Перед решением составьте две строки таблицы или короткую схему. После каждого действия подпишите, что найдено. В последнем шаге снова прочитайте вопрос, особенно если речь идёт о сдаче или сравнении. Ответы приведены ниже, но сначала попытайтесь решить задачи без них.

Задача 1. Купили 4 альбома по 18 рублей и 3 набора наклеек по 9 рублей. Сколько заплатили за всё? На сколько рублей альбомы вместе дороже наклеек вместе? Здесь два вопроса: для второго используйте уже найденные стоимости групп.

Задача 2. Маша купила 6 одинаковых ручек за 54 рубля и один блокнот за 23 рубля. Сколько стоит одна ручка? Сколько заплатила Маша за всю покупку? Ответ на второй вопрос нельзя получить простым сложением 54 и 6: число 6 обозначает ручки, а не рубли.

Задача 3. Пять одинаковых открыток стоят 45 рублей. Сколько таких открыток можно купить на 72 рубля при той же цене? Сначала найдите цену одной открытки, затем количество на 72 рубля. Условие «при той же цене» необходимо: без него второй вопрос нельзя было бы решить точно.

Если задача кажется трудной, спросите себя, какую величину нужно найти первой, чтобы появился полный набор данных для следующего шага. В задаче 3 без цены одной открытки нельзя определить количество на 72 рубля. В задаче 1 стоимости обеих групп нужны и для суммы, и для разницы.

Ответы и разбор

Сверяйте не только итог, но и промежуточные величины. В составной задаче правильное первое действие с неверным последним ответом обычно означает, что вопрос был прочитан невнимательно. Если промежуточная стоимость ошибочна, перепроверьте соответствующую строку таблицы.

Набор А: 1) 6 × 7 = 42 рубля; 2) 72 : 8 = 9 рублей за открытку; 3) 54 : 9 = 6 тюбиков; 4) 48 : 6 = 8 рублей за папку; 5) 7 × 9 = 63 рубля. Проверка третьего пункта: 6 тюбиков по 9 рублей стоят 54 рубля.

Набор Б: 1) «Сколько стоит один маркер?» — 12 рублей. 2) «Сколько стоят семь таких тетрадей?» — 56 рублей. 3) «Сколько кисточек купили?» — 8 кисточек. В третьей строке слово «одинаковые» и цена одной кисточки позволяют найти количество.

Набор В: первая запись неверна: четыре книги по 15 рублей стоят 15 + 15 + 15 + 15 = 60 рублей, или 15 × 4 = 60 рублей. Вторая и третья записи верны: 12 × 3 = 36, а 64 : 8 = 8. Если в задаче про книги получено 19 рублей, величины сложены как обычные числа без учёта их смысла.

Задача 1: альбомы 18 × 4 = 72 рубля, наклейки 9 × 3 = 27 рублей; вся покупка 72 + 27 = 99 рублей; альбомы вместе дороже на 72 − 27 = 45 рублей. Задача 2: одна ручка 54 : 6 = 9 рублей; вся покупка 54 + 23 = 77 рублей. Задача 3: одна открытка 45 : 5 = 9 рублей; на 72 рубля можно купить 72 : 9 = 8 открыток.

Как проверить ответ без ключа

Вычисленная стоимость нескольких одинаковых вещей должна быть больше цены одной вещи, если вещей больше одной и цена положительная. Цена одной вещи не может быть больше всей стоимости группы таких вещей. Количество записывают в штуках, а стоимость — в рублях. Эти простые проверки не доказывают точность каждого вычисления, но быстро выявляют перепутанные величины.

Затем выполните обратное действие: найденную цену умножьте на количество, найденное количество умножьте на цену. Для составной задачи проверьте каждый ряд таблицы отдельно, а последним шагом — сумму, разницу или сдачу. Если взрослый помогает ребёнку, полезнее спросить «Что обозначает это число?» и «На какой вопрос отвечает действие?», чем сразу сообщать правильный знак.

Наконец, произнесите итог целым предложением. «Вся покупка стоит 99 рублей» отвечает на один вопрос; «альбомы вместе дороже наклеек на 45 рублей» — на другой. Если предложение звучит бессмысленно — например, «одна ручка стоит 54 ручки», — ошибка не в последней цифре, а в роли величины. Вернитесь к таблице и подпишите цену, количество и стоимость заново.