Координатная плоскость: как построить точку и прочитать её координаты

Чем плоскость отличается от числовой прямой

На числовой прямой для положения точки достаточно одного числа. На листе бумаги можно двигаться и вправо-влево, и вверх-вниз, поэтому нужно два числа. Координатная плоскость образуется двумя перпендикулярными числовыми осями с общим нулём. Горизонтальную ось обозначают x, вертикальную — y; их пересечение называют началом координат и часто помечают буквой O.

Положительное направление оси x обычно идёт вправо, оси y — вверх. Слева от нуля находятся отрицательные значения x, ниже — отрицательные значения y. На обеих осях выбирают единичные отрезки и отмечают числа. Обычно одну единицу рисуют одной клеткой или одинаковым количеством клеток на каждой оси, если задание не задаёт другой масштаб.

Если вы пока не уверены, почему −2 левее −1, полезно сначала повторить координатную прямую и сравнение отрицательных чисел. Плоскость использует тот же порядок чисел, только добавляет второе направление.

Как читать запись A(x; y)

Буква A — имя точки. В скобках стоят её координаты: сначала x, потом y. Точку A(4; 1) ищут на четыре единицы вправо и одну вверх. Для B(−2; −3) идут на две единицы влево и три вниз. Точка C(0; 5) лежит прямо на вертикальной оси, потому что горизонтальное смещение равно нулю.

Точка O(0; 0) — начало координат. Нуль в первой позиции не означает, что точка исчезла: он означает, что она находится на оси y. Нуль во второй позиции помещает точку на ось x. В записи D(−4; 0) движение вниз или вверх не нужно, а по горизонтали надо пройти четыре единицы влево.

Разделитель между координатами в школьной русской записи часто точка с запятой: (2; 3). Она особенно удобна, если координаты десятичные: (1,5; −2,5). В некоторых источниках можно увидеть запятую как разделитель пары, но в своей тетради следуйте принятой у учителя записи, чтобы не спутать её с десятичной запятой.

Построение точки по готовым координатам

Возьмём P(3; −2). Отметьте на горизонтальной оси число 3. Через эту отметку мысленно проведите вертикальную линию. Затем отметьте на вертикальной оси −2 и проведите через неё горизонтальную линию. Пересечение — искомая точка P. На клетчатой бумаге можно просто пройти от O три клетки вправо и две вниз, сохраняя масштаб.

Движение «сначала x, потом y» — удобный способ запомнить порядок записи. Но сама точка не зависит от маршрута: если сначала пройти две клетки вниз, а потом три вправо, вы попадёте туда же. Для чтения и оформления всё равно называйте x первым. Иначе легко перепутать P(3; −2) с Q(−2; 3).

Не ставьте точку на оси x после первого движения, если y не равен нулю. Отметка 3 на оси x — только промежуточная опора для построения P(3; −2). Готовая точка должна быть на две единицы ниже этой оси.

Как прочитать координаты уже отмеченной точки

Посмотрите, какую вертикальную линию сетки проходит точка: она показывает x. Затем определите горизонтальную линию сетки: она показывает y. Если точка находится слева от оси y, её x отрицателен; если ниже оси x, её y отрицателен. Запишите ответ в порядке (x; y) и проверьте, соответствуют ли знаки положению.

Представьте точку на две клетки левее вертикальной оси и на четыре клетки выше горизонтальной. При масштабе одна клетка — одна единица её координаты (−2; 4). Если назвать (4; −2), получится точка в другой части плоскости. Проверка по четверти помогает заметить перестановку.

При масштабе «две клетки — одна единица» те же два и четыре клеточных смещения дают уже (−1; 2). Поэтому не угадывайте координаты по количеству клеток, пока не выяснили единичный отрезок на каждой оси. Надписи 0, 1 и 2 у осей важнее размера клетки.

Четверти и знаки координат

Оси делят плоскость на четыре части — четверти. Нумерация начинается справа вверху и идёт против часовой стрелки. Первая четверть: x > 0 и y > 0. Вторая: x < 0 и y > 0. Третья: оба значения отрицательны. Четвёртая: x > 0 и y < 0.

Четверть можно определить без точного построения. Точка (−5; 3) лежит во второй четверти, потому что она слева и сверху. Точка (2; −4) — в четвёртой. Точка (−1; −7) — в третьей. Но если хотя бы одна координата равна нулю, точка находится на оси и ни к одной четверти не относится.

Это правило помогает проверять рисунок. Если A(−3; 2) нарисована справа вверху, она попала в первую четверть, хотя должна находиться во второй. Ошибка видна ещё до подсчёта клеток. Однако одна лишь четверть не даёт точных координат: внутри неё бесконечно много точек.

Точки на осях и равные расстояния

Для всех точек оси x вертикальная координата y равна нулю: (3; 0), (−4; 0), (0; 0). Для всех точек оси y горизонтальная координата x равна нулю: (0; 5), (0; −2), (0; 0). Начало координат принадлежит обеим осям одновременно.

Точки (3; 2) и (−3; 2) находятся на одной высоте и на одинаковом расстоянии от оси y по разные стороны. Точки (3; 2) и (3; −2) расположены одна над другой и равноудалены от оси x. Такое наблюдение помогает рисовать симметричные фигуры, но не заменяет чтения координат.

Если точки A(−4; 1) и B(2; 1) имеют одинаковую вторую координату, отрезок AB горизонтален. Если C(3; −2) и D(3; 4) имеют одинаковую первую координату, отрезок CD вертикален. Это пригодится в заданиях на построение фигур и проверку расположения точек.

Разбор примера с четырьмя точками

Нарисуйте оси и выберите одну клетку за единицу. Отметьте A(2; 3), B(−3; 2), C(−2; −2) и D(3; −1). Сначала проверьте знаки и четверти, потом считайте клетки. Такой порядок предотвращает ошибку, когда точка с правильным расстоянием оказалась по другую сторону оси.

После построения соедините точки A, B, C, D по порядку, если это требуется в упражнении. Само соединение не меняет координат. Не проводите линию только потому, что точки перечислены: иногда задача просит отметить их отдельно или прочитать готовый рисунок без фигуры.

Задания на построение

Выполняйте задания на клетчатой бумаге. Подпишите оси, нуль и единичный отрезок до нанесения точек. Для каждого ответа после рисунка укажите хотя бы одно проверочное свойство: четверть, положение на оси или одинаковую координату у пары точек.

1. Отметьте K(−4; 3), L(2; 3), M(2; −2), N(−4; −2). Соедините K–L–M–N–K. Какая фигура получилась?
2. Отметьте P(0; 4), Q(−3; 0), R(0; −4), S(3; 0). Какие точки лежат на оси x, а какие на оси y?
3. Постройте A(1; 5) и B(1; −3). Как расположен отрезок AB?
4. Отметьте C(−2; 1). Назовите точку, расположенную на той же высоте на две единицы правее C.
5. Отметьте D(−3; −1). Куда нужно переместиться, чтобы попасть в E(−3; 2)?

Ответы: 1) прямоугольник: у верхних точек y = 3, у нижних y = −2, левая и правая стороны вертикальны; 2) Q и S лежат на оси x, P и R — на оси y; 3) отрезок вертикален, потому что обе первые координаты равны 1; 4) (0; 1), точка находится на оси y; 5) вверх на три единицы, x остаётся равным −3.

В первом задании не называйте фигуру квадратом: горизонтальная сторона имеет длину 6 единиц от −4 до 2, вертикальная — 5 единиц от −2 до 3. В четвёртом переход на две единицы правее от −2 приводит к нулю, а не к +2. Эти мелочи лучше проверить по прямой, чем по внешнему виду рисунка.

Задания на чтение координат и поиск ошибки

Здесь рисунок можно представить словами. Если нужно, набросайте оси; если решаете устно, обязательно называйте сначала x, затем y. Вопросы на ошибку показывают, насколько вы понимаете порядок координат, а не только умеете считать клетки.

1. Точка находится на три клетки левее O и на две ниже. Масштаб — одна клетка за единицу. Запишите координаты.
2. Точка находится на оси y на пять единиц выше O. Запишите координаты.
3. Ученик отметил (−2; 4) в четвёртой четверти. Что он перепутал?
4. Можно ли назвать четверть точки (7; 0)?
5. Точка T(−1,5; 2) расположена левее или правее оси y? Выше или ниже оси x?
6. У точек U(−4; 6) и V(−4; −1) совпадает первая координата. Как расположен соединяющий их отрезок?

Ответы: 1) (−3; −2); 2) (0; 5); 3) знаки указывают на вторую четверть, значит, ученик неверно выбрал сторону одной или обеих осей; 4) нет, точка лежит на оси x; 5) левее оси y и выше оси x; 6) вертикально. Для третьего вопроса одного слова «ошибка» мало: назовите правильную четверть.

Если координаты дробные

Число 1,5 по оси x находится посередине между 1 и 2. Поэтому точку (1,5; −2) ставят на вертикали через середину отрезка 1–2 и на высоте y = −2. Для (−0,5; 0,5) обе координаты имеют модуль половины единичного отрезка: полшага влево и полшага вверх.

Если единица занимает две клетки, половина единицы равна одной клетке и строить удобно. Если единица занимает одну клетку, половину придётся отмечать между линиями сетки. Можно выбрать масштаб заранее, если условие разрешает, чтобы дробные координаты попадали на линии клеток. Но нельзя менять единичный отрезок посреди рисунка ради одной точки.

При чтении дробных координат не путайте десятичную запятую и разделитель пары. Запись (−1,5; 2,5) означает две координаты: x = −1,5 и y = 2,5. Порядок остаётся тем же, что и у целых чисел.

Частые ошибки на координатной плоскости

Чаще всего переставляют координаты. У точки (2; −3) первая координата положительна, вторая отрицательна, значит, она справа внизу. Точка (−3; 2) находится слева вверху. Если рисунок не совпадает со знаками, проверьте, не прочитали ли вы пару «сначала вверх, потом вправо».

Другая ошибка — считать клетки от края листа, а не от начала координат. Числа определяют смещение от O. Третья — относить точку на оси к ближайшей четверти: точка (0; −4) не лежит в третьей или четвёртой четверти, она расположена на оси y. Четвёртая — рисовать разные единичные отрезки для положительной и отрицательной сторон одной оси.

Пятая ошибка возникает при чтении масштаба: если два деления сетки равны одной единице, четыре клетки от нуля означают координату 2, а не 4. Подписи на оси должны управлять счётом. Если они отсутствуют, задача должна отдельно задавать масштаб; иначе точные координаты прочитать нельзя.

Проверочный список перед сдачей

Посмотрите на рисунок в целом, затем на каждую точку отдельно. Проверка по знакам занимает секунды и позволяет обнаружить грубую ошибку до подсчёта делений. Проверка по масштабу уточняет точное положение. Если хотя бы одна точка не проходит обе проверки, исправьте её и подпись.

• Оси x и y перпендикулярны и пересекаются в O(0; 0).
• Положительное направление x идёт вправо, y — вверх.
• Для каждой точки сначала прочитана горизонтальная, затем вертикальная координата.
• Знаки согласуются с четвертью или положением на оси.
• Единичный отрезок сохраняется на всём рисунке.
• Точки с нулевой координатой не отнесены к четверти.

Координатная плоскость превращает рисунок в точную запись положения. Пара чисел позволяет восстановить точку, а точка — прочитать пару, если известны оси и масштаб. Когда порядок x и y стал привычным, построение фигур и работа с графиками становятся заметно проще.