Импульс и закон его сохранения: задачи на столкновение тел

Импульс тела и импульс силы: разные величины

Импульс тела — векторная величина p = m × v. Его направление совпадает с направлением скорости при положительной массе. Единица импульса — кг·м/с. Для движения по одной прямой удобно работать с проекцией pₓ = m × vₓ, которая может быть положительной, отрицательной или нулевой.

Пусть условная тележка массой 2 кг движется вправо со скоростью 3 м/с. При оси x вправо её импульс равен +6 кг·м/с. Если такая же тележка движется влево с той же величиной скорости, проекция равна −6 кг·м/с. Модуль в обоих случаях равен 6 кг·м/с.

Импульс силы описывает действие силы за время и равен изменению импульса тела. Для постоянной результирующей силы J = F × Δt; для переменной можно использовать среднюю силу за этот интервал. Единица Н·с эквивалентна кг·м/с, но одинаковые единицы не делают понятия тождественными. Связь разобрана в разделе OpenStax об импульсе силы.

В условной задаче тело массой 0,5 кг изменило скорость с +2 до −4 м/с. Изменение импульса равно 0,5 × (−4 − 2) = −3 кг·м/с. За 0,10 с средняя результирующая сила имела проекцию −3 / 0,10 = −30 Н. Вычитание начального импульса из конечного отличается от суммы их модулей, хотя в этом примере величина изменения равна 3.

Причину изменения скорости можно также разобрать по второму закону Ньютона и схеме сил. Импульсный способ особенно удобен, когда подробное изменение силы во время короткого взаимодействия неизвестно.

Когда можно применять закон сохранения

Для системы из нескольких тел суммируют внешние импульсы за выбранный интервал. Если их векторная сумма равна нулю, суммарный импульс системы не изменяется. Если она мала по сравнению с рассматриваемым изменением импульсов тел, закон используют как приближение и называют это условие в решении.

Внешние силы действуют на систему со стороны объектов, которые в неё не включены. Внутренние силы описывают взаимодействия между её участниками. Для двух тел силы их взаимного действия по третьему закону равны и противоположны; при суммировании уравнений системы соответствующие импульсы сокращаются.

Внутренние силы могут сильно изменить импульс каждого тела по отдельности. Закон относится к сумме. Поэтому при ударе первая тележка может остановиться, а вторая начать движение, хотя импульс системы остался прежним.

Для короткого горизонтального столкновения двух тележек часто пренебрегают внешним импульсом трения за время удара. По вертикали тяжесть и реакция поверхности могут уравновешиваться. Значит, можно применять сохранение горизонтальной проекции, не объявляя систему полностью свободной от всех внешних сил. Условия закона описаны в учебном разделе о сохранении импульса.

Сравнивают состояния непосредственно до и после столкновения. Если после удара сцепившиеся тележки долго тормозят из-за трения, нельзя приравнять начальный импульс к импульсу через минуту без учёта внешнего воздействия. Временной интервал — часть модели, а не техническая мелочь.

Схема до и после: как не потерять знак

Для задачи по одной прямой нарисуйте два состояния и одну общую ось. В каждом состоянии обозначьте массы и направления скоростей. Проекции записывают в той же системе отсчёта, иначе выражения не относятся к одному и тому же сравнению.

Ниже дана условная схема встречного движения. Положительное направление оси — вправо. Тележка 1 движется вправо, тележка 2 — влево; после удара они сцепились. Стрелка общей скорости на рисунке пока не задана: направление должен определить расчёт.

Ось x: вправо положительное направление
До:     [m1] → v1          v2 ← [m2]
После:            [m1 + m2], скорость u неизвестна

Если величины скоростей 4 и 1 м/с, проекции равны +4 и −1 м/с. В формуле нельзя поставить +4 и +1 только потому, что обе величины в условии положительные. Сумма модулей описывает другую величину.

Если u получилось отрицательным, система движется влево относительно выбранной оси. Это полноценный результат, а не причина убрать минус из ответа. Модуль скорости при необходимости записывают отдельно: например, «uₓ = −0,5 м/с; величина скорости 0,5 м/с, направление влево».

Слипание тел: общая скорость после удара

При абсолютно неупругом столкновении тела после удара движутся вместе. Для двух постоянных масс в одномерной модели при пренебрежимо малом внешнем импульсе записывают m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = (m₁ + m₂)uₓ. Все скорости здесь — проекции непосредственно до или после удара.

В первом условном примере m₁ = 2 кг, v₁ₓ = +4 м/с; m₂ = 3 кг, v₂ₓ = −1 м/с. До столкновения суммарный импульс равен 2 × 4 + 3 × (−1) = 5 кг·м/с. После слипания масса равна 5 кг, поэтому uₓ = 5 / 5 = +1 м/с.

Система движется вправо: положительный вклад первой тележки по величине превышал отрицательный вклад второй. Проверка подстановкой даёт (2 + 3) × 1 = 5 кг·м/с. Равенство подтверждает и число, и знак.

Для движения в одном направлении формула та же. Если тележка 2 массой 3 кг покоится, а первая массой 2 кг движется с +4 м/с, uₓ = 8 / 5 = 1,6 м/с. Если вторая движется вправо с +1 м/с, uₓ = (8 + 3) / 5 = 2,2 м/с.

Сопоставим три условных случая. Массы в них одинаковы; отличается только начальная проекция скорости второй тележки.

v₁ₓ, м/с	v₂ₓ, м/с	Импульс до, кг·м/с	Общая uₓ, м/с
+4	−1	5	+1
+4	0	8	+1,6
+4	+1	11	+2,2

При слипании общая проекция скорости находится между двумя исходными проекциями. Это следует из формулы среднего с положительными весами-массами. Например, для +4 и −1 результат +1 лежит между −1 и +4. Значение +6 при тех же исходных данных было бы сигналом ошибки или пропущенного внешнего импульса.

Если суммарный импульс равен нулю

Нулевой суммарный импульс не означает, что до столкновения оба тела стояли. Их импульсы могут иметь одинаковые модули и противоположные направления. При слипании такая система окажется неподвижной сразу после удара в выбранной системе отсчёта.

В условном примере первая тележка массой 1 кг движется вправо с 6 м/с, вторая массой 2 кг — влево с 3 м/с. Сумма равна 1 × 6 + 2 × (−3) = 0. После слипания uₓ = 0 / 3 = 0.

Кинетическая энергия до удара при этом не равна нулю: 1 × 6² / 2 + 2 × 3² / 2 = 18 + 9 = 27 Дж. Нулевые суммарный импульс и кинетическая энергия — разные утверждения. Импульсы складываются со знаками, энергии движения каждой части положительны.

При другом характере столкновения система с нулевым суммарным импульсом может разлететься в противоположные стороны. Тогда каждое тело движется, но их импульсы по-прежнему компенсируются. Данные о взаимодействии нужны для определения отдельных скоростей.

Кинетическая энергия: что сохраняется при разных ударах

Сохранение импульса не заменяет условие о кинетической энергии. При упругом столкновении сохраняется суммарная кинетическая энергия выбранной системы. При неупругом часть её переходит во внутреннюю энергию, деформации и другие формы. Общая энергия при правильном учёте не исчезает.

Для первого примера со слипанием до удара Kдо = 2 × 4² / 2 + 3 × 1² / 2 = 16 + 1,5 = 17,5 Дж. После удара Kпосле = 5 × 1² / 2 = 2,5 Дж. Уменьшение кинетической энергии равно 15 Дж, хотя импульс сохранился.

Если к уравнению слипания добавить ложное равенство 17,5 = 2,5, получится противоречие не с законом импульса, а с неверным предположением об упругости. Типы столкновений и отличие их энергетических условий рассматриваются в разделе OpenStax о столкновениях.

Для двух одинаковых масс при одномерном упругом столкновении, когда одна из них первоначально покоится, из законов импульса и энергии получается обмен скоростями: первая останавливается, вторая получает её скорость. Это результат названных условий; без равенства масс и упругости использовать его как готовое правило нельзя.

Если две скорости после удара неизвестны, одного уравнения сохранения импульса обычно недостаточно. Потребуется дополнительное условие: упругость, слипание, известная скорость одного тела или иная характеристика взаимодействия. Нужно заметить недостаток данных, а не выбрать красивое число на глаз.

Разлёт: когда тела движутся в разные стороны

Закон импульса применяют и к разделению системы. В учебной модели две части сначала покоятся вместе, затем внутренняя пружина раздвигает их. Если внешним импульсом за время раздвижения можно пренебречь, сумма импульсов частей после события остаётся нулевой.

Пусть массы частей равны 1 и 2 кг. Первая после раздвижения движется вправо с 6 м/с. Тогда 1 × 6 + 2 × v₂ₓ = 0, откуда v₂ₓ = −3 м/с. Более тяжёлая часть имеет меньшую величину скорости, чтобы модули импульсов были равны.

Система до разлёта не имела кинетической энергии поступательного движения, а после имеет 27 Дж. Это не нарушение закона энергии: в условии источником служит энергия сжатой пружины. Если источник энергии не задан, импульсный расчёт направления и соотношения скоростей всё равно не объясняет происхождение энергии движения.

Для решения этой модели достаточно схемы и заданных чисел. В выводе разделите два утверждения: равенство импульсов по модулю следует из нулевого начального импульса системы, а появление кинетической энергии связано с указанным в условии источником.

Внешний импульс: поправка к простому равенству

Если внешний импульс существенен, используют более общую запись: Pпосле − Pдо = Jвнеш. Закон сохранения соответствует частному случаю Jвнеш = 0. Такое уравнение позволяет отличить неверную арифметику от неприменимого упрощения.

Возьмём первый пример: исходный горизонтальный импульс двух тележек равен +5 кг·м/с, общая масса после слипания — 5 кг. Пусть условие отдельно задаёт внешний импульс −1 Н·с за время взаимодействия. Тогда итоговый импульс равен 5 − 1 = 4 кг·м/с, а общая скорость — 4 / 5 = +0,8 м/с.

Если просто применить сохранение и получить +1 м/с, заданное внешнее воздействие будет потеряно. В ответе нужно указать, почему использована поправка и какое направление у внешнего импульса.

На графике проекции силы от времени импульс соответствует площади с учётом знака. Прямоугольник с высотой 10 Н и шириной 0,20 с даёт 2 Н·с. Для треугольного импульса с такой же высотой и основанием площадь равна 1 Н·с. Одинаковая максимальная сила не означает одинаковое изменение импульса.

Алгоритм решения и проверка результата

Сначала запишите, какие тела входят в систему и какое время сравнивается. Затем выберите положительную ось, переведите массы в килограммы и скорости в м/с, присвойте скоростям знаки. На этом этапе уже понятно, какие импульсы складываются, а какие частично компенсируются.

После этого определите вид взаимодействия и число неизвестных. Для слипания используйте одну общую скорость. Для разлёта — отдельные скорости частей. Для упругого столкновения при необходимости добавьте уравнение энергии. Внешний импульс либо учитывайте, либо обоснованно исключайте.

Подставляйте числа после символической записи. Для слипания удобно сначала найти Pдо, потом разделить на общую массу. Проверка в обратном направлении должна восстановить исходную сумму при Jвнеш = 0 или нужное изменение при ненулевом внешнем импульсе.

В конце отдельно укажите направление. Если результат отрицателен, найдите на рисунке сторону, противоположную оси. Проверьте, не приравняли ли вы энергии для неупругого удара и не перепутали ли состояние сразу после столкновения с последующим торможением.

Задания для самостоятельной работы

Все столкновения и разлёты ниже — условные одномерные модели с постоянными массами. Ось x направлена вправо. Внешним горизонтальным импульсом пренебрегайте, кроме задания 9. Слово «слиплись» означает одну общую скорость сразу после удара.

1. Тело массой 0,4 кг движется влево со скоростью 5 м/с. Найдите проекцию и модуль импульса.
2. Тележки массами 2 и 3 кг движутся с проекциями +4 и −1 м/с и слипаются. Найдите общую скорость и направление.
3. Те же массы: первая движется с +4 м/с, вторая покоится. Какова скорость после слипания?
4. Массы 1 и 2 кг, скорости +6 и −3 м/с. Найдите суммарный импульс и скорость после слипания.
5. Для задания 2 рассчитайте кинетические энергии до и после. Насколько уменьшилась энергия поступательного движения?
6. Две одинаковые массы упруго столкнулись по одной прямой. Первая до удара имела +3 м/с, вторая покоилась. Каковы скорости после в модели обмена скоростями?
7. Две части массами 1 и 2 кг раздвинула внутренняя пружина из состояния покоя. Первая получила +6 м/с. Найдите скорость второй части.
8. Масса тела 0,5 кг, скорость изменилась с +2 до −4 м/с за 0,10 с. Найдите изменение импульса и среднюю результирующую силу.
9. В задаче 2 внешний импульс за время удара равен −1 Н·с. Найдите общую скорость после слипания.
10. На графике Fₓ(t) показан положительный треугольник: основание 0,20 с, высота 10 Н. Найдите импульс силы. Можно ли без дополнительных условий определить две неизвестные скорости после несцепляющегося удара одним законом импульса?

Ответы

Сначала сверьте знак импульса, затем скорость. Если итоговая скорость не восстанавливает суммарный импульс, пересмотрите начальные проекции и массу системы. Энергетические вычисления проверяйте отдельно, поскольку они отвечают на другой вопрос.

1. pₓ = 0,4 × (−5) = −2 кг·м/с; модуль равен 2 кг·м/с. Минус указывает направление влево.
2. Pдо = 2 × 4 − 3 × 1 = 5 кг·м/с. uₓ = 5 / 5 = +1 м/с, вправо.
3. Pдо = 8 кг·м/с; uₓ = 8 / 5 = +1,6 м/с. Импульс неподвижного тела исходно нулевой, но его масса входит в знаменатель.
4. Pдо = 6 − 6 = 0; uₓ = 0. До удара тела двигались, хотя их суммарный импульс был нулевым.
5. Kдо = 17,5 Дж, Kпосле = 2,5 Дж, уменьшение — 15 Дж. Импульс сохраняется, кинетическая энергия при слипании уменьшается.
6. Первая масса имеет 0 м/с, вторая — +3 м/с. Ответ относится к равным массам, одномерному движению и упругому удару при исходном покое второй массы.
7. 6 + 2v₂ₓ = 0; v₂ₓ = −3 м/с. Вторая часть движется влево, импульсы частей компенсируются.
8. Δpₓ = 0,5(−4 − 2) = −3 кг·м/с. Средняя сила Fₓ = −3 / 0,10 = −30 Н.
9. Pпосле = 5 − 1 = 4 кг·м/с; uₓ = 4 / 5 = +0,8 м/с. Простое сохранение без поправки здесь неприменимо.
10. Jₓ = 10 × 0,20 / 2 = 1 Н·с. Одного уравнения для двух неизвестных скоростей недостаточно; нужно условие о характере удара или другая независимая информация.

Самопроверка

Проверьте, что на схеме показаны именно два состояния одной системы. Массы и проекции скоростей должны относиться к одним и тем же телам, а ось — быть общей. Выражение «до = после» без названия величины недостаточно для проверки.

Убедитесь, что импульс тела не перепутан с импульсом силы; встречные скорости имеют разные знаки; общая масса при слипании сложена; внешнее воздействие учтено или обоснованно исключено; кинетическая энергия не объявлена сохраняющейся без условия об упругости. При отрицательном ответе направление записано словами.

Завершённое решение показывает, что сохраняется, почему это допустимо и как результат связан с рисунком. Тогда даже задача о встречном столкновении превращается в проверяемую сумму импульсов, а знак скорости после удара становится понятным физическим выводом.