Сложение и вычитание чисел с разными знаками: карточки

Перед карточками: знак числа и знак действия

В выражении −7 + 2 первый минус относится к числу −7, а знак плюс между числами обозначает действие. В выражении 5 − (−2) первый минус означает вычитание, второй — знак числа, которое вычитают. Скобки помогают увидеть их роли. Если читать всё подряд как «два минуса дают плюс», легко получить верный ответ случайно и ошибиться в следующем задании.

Удобнее разбирать выражение вопросами: какое действие указано между числами, какие числа участвуют и где они расположены относительно нуля? Для суммы −7 + 2 начальная точка −7, прибавление двух перемещает нас вправо в −5. Для 5 − (−2) отнимается отрицательное число; после замены на сложение противоположного получаем 5 + 2 = 7.

Если координатная прямая пока вызывает трудности, сначала потренируйтесь отмечать и сравнивать отрицательные числа. Там же объяснено, почему −3 больше −6 и что означает расстояние от точки до нуля.

Сложение чисел с разными знаками

Два слагаемых имеют разные знаки, когда одно положительное, а другое отрицательное: 9 + (−4) или −9 + 4. Найдите расстояния от чисел до нуля, вычтите меньшее из большего и определите знак по слагаемому с большим модулем. Если модули равны, сумма равна нулю.

Для 9 + (−4) модули равны 9 и 4. Разность 9 − 4 = 5, больший модуль у положительного слагаемого, значит, ответ +5. Для −9 + 4 разность та же, но больший модуль у отрицательного числа, поэтому ответ −5. Для −4 + 4 оба движения взаимно уничтожаются: результат 0.

Можно проверить себя движением на прямой. Начните в точке −9 и прибавьте 4: четыре шага вправо приводят в −5. Начните в точке 9 и прибавьте −4: четыре шага влево приводят в 5. Этот способ особенно полезен для небольших целых чисел и для проверки знака.

Карточка 1. Суммы с разными знаками

Решайте без калькулятора. У каждого выражения сначала определите, какое слагаемое дальше от нуля, и только потом вычисляйте разность модулей. Если получился нуль, не ставьте перед ним минус: число −0 равно 0, а в ответе пишут просто 0.

1. −6 + 2
2. 7 + (−3)
3. −12 + 5
4. 15 + (−9)
5. −8 + 8
6. 4 + (−11)
7. −1,5 + 0,7
8. 2,4 + (−3,1)

Ответы: 1) −4; 2) 4; 3) −7; 4) 6; 5) 0; 6) −7; 7) −0,8; 8) −0,7. В седьмом задании расстояние 1,5 больше 0,7, поэтому знак остаётся отрицательным. В восьмом 3,1 больше 2,4 на 0,7; положительный знак первого слагаемого не определяет знак всей суммы.

Проверьте особенно задания 6–8. Там меньшее по записи число стоит первым или участвует десятичная дробь. Порядок слагаемых не меняет сумму, но может отвлекать: 4 + (−11) даёт тот же результат, что и −11 + 4.

Вычитание как сложение противоположного числа

Для любых чисел a и b верно: a − b = a + (−b). Это правило удобно прочитать словами: чтобы вычесть число, прибавьте ему противоположное. После замены перед вами обычная сумма, к которой можно применить знакомое правило знаков.

Разберём 6 − (−2). Противоположное числу −2 — число +2, значит, 6 − (−2) = 6 + 2 = 8. Теперь −6 − 2: противоположное числу 2 — −2, поэтому −6 − 2 = −6 + (−2) = −8. В первом случае два минуса стоят рядом и итоговое движение идёт вправо; во втором действие «вычесть» приводит к добавлению отрицательного числа, то есть к движению влево.

Не заменяйте знаки механически в выражении вроде −3 − (−7). Сначала определите вычитаемое: это −7. Его противоположное +7. Получается −3 + 7 = 4. Если после замены вы не видите сумму, запишите промежуточный шаг полностью.

Карточка 2. Замени вычитание сложением

В этой карточке важен не только ответ. Перепишите каждое выражение как сумму и оставьте оба шага в тетради. Это помогает увидеть, какой знак принадлежит числу и какой обозначает действие. Ответы ниже содержат промежуточную запись.

1. 5 − (−4)
2. −5 − 4
3. −9 − (−2)
4. 8 − 13
5. −2 − (−10)
6. 0 − (−6)
7. 1,2 − (−0,5)
8. −3,4 − 0,6

Ответы: 1) 5 + 4 = 9; 2) −5 + (−4) = −9; 3) −9 + 2 = −7; 4) 8 + (−13) = −5; 5) −2 + 10 = 8; 6) 0 + 6 = 6; 7) 1,2 + 0,5 = 1,7; 8) −3,4 + (−0,6) = −4.

В задании 4 результат отрицательный, хотя первое число положительно: вычитаемое 13 больше уменьшаемого 8. В задании 5 исходное число −2 не заставляет ответ быть отрицательным: после замены прибавляется 10, и движение вправо проходит через нуль до 8.

Как проверить действие на координатной прямой

При прибавлении положительного числа двигайтесь вправо, при прибавлении отрицательного — влево. Вычитание сначала замените сложением противоположного, затем двигайтесь по тому же правилу. Не нужно учить отдельные направления для каждого сочетания двух знаков: одна замена устраняет путаницу.

Проверим −3 − (−5). После замены это −3 + 5. Начинаем в −3 и идём на пять единиц вправо: −2, −1, 0, 1, 2. Ответ 2. Для 3 − 5 получаем 3 + (−5): пять единиц влево приводят в −2. Сравнение этих двух примеров показывает, почему скобки и знак вычитаемого так важны.

На прямой с дробями шаги становятся не такими удобными, но смысл сохраняется. Например, −1,5 + 0,8 — движение от −1,5 вправо на 0,8 до −0,7. Если не хочется делить отрезок на десятые, используйте правило модулей, а прямой проверьте направление и примерное положение ответа.

Карточка 3. Смешанные выражения

Теперь действия перемешаны. Прежде чем считать, преобразуйте каждое вычитание; затем выполняйте действия слева направо, потому что сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет. Не складывайте подряд все «плюсы», если из-за этого теряете знак какого-то слагаемого.

1. −7 + 12 − 3
2. 4 − (−6) + (−9)
3. −2 − 5 + 11
4. 10 + (−14) − (−3)
5. −1,2 + 2,5 − 0,8
6. 3,6 − (−1,4) + (−7)
7. −15 − (−8) + 2
8. 0 − 4 + (−6)

Ответы с промежуточным ходом: 1) −7 + 12 = 5, затем 5 − 3 = 2; 2) 4 + 6 − 9 = 1; 3) −2 − 5 = −7, затем −7 + 11 = 4; 4) 10 − 14 + 3 = −1; 5) −1,2 + 2,5 = 1,3, затем 1,3 − 0,8 = 0,5; 6) 3,6 + 1,4 − 7 = −2; 7) −15 + 8 + 2 = −5; 8) −4 + (−6) = −10.

Если ответ отличается, начните проверку с первого преобразования вычитания. В заданиях 2, 4, 6 и 7 в скобках стоит отрицательное вычитаемое: при его вычитании получается прибавление положительного числа. Это самая частая точка ошибки. После неё остаётся обычная арифметика.

Карточка 4. Найди и исправь ошибку

Задания на поиск ошибки полезнее ещё одного ряда однотипных сумм. Нужно объяснить, какое правило нарушено, а затем записать верный ответ. Попробуйте сначала исправить каждую строку без подсказки. В некоторых строках арифметическая разность модулей найдена верно, но выбран неверный знак.

1. «−9 + 4 = 5, потому что 9 − 4 = 5».
2. «6 − (−2) = 4, потому что 6 − 2 = 4».
3. «−3 − 5 = 2, потому что 5 − 3 = 2».
4. «−7 + 7 = −14, потому что оба числа записаны с семёркой».
5. «−1,8 + 0,5 = −2,3, потому что одно число отрицательное».

В первой строке разность модулей равна 5, но больший модуль у отрицательного слагаемого, поэтому −9 + 4 = −5. Во второй вычитают число −2, значит, надо прибавить противоположное +2: ответ 8. В третьей −3 − 5 = −3 + (−5) = −8. В четвёртой числа противоположны и сумма равна нулю. В пятой модули нужно вычесть: 1,8 − 0,5 = 1,3, знак отрицательный, ответ −1,3.

Заметьте, что ошибка редко состоит только в «невнимательности». Обычно у неё есть причина: знак перенесён не от того числа, вычитание не заменено сложением или смешаны правила для одинаковых и разных знаков. Назвав причину, вы уменьшаете вероятность повторить её.

Карточка 5. Короткие задачи со смыслом

Числа с разными знаками встречаются в описании изменений, но реальный контекст нужно читать внимательно. Не всякое отрицательное число означает долг, а слово «уменьшилась» не всегда требует записать два минуса подряд. Обозначьте начальное значение и изменение, затем проверьте, отвечает ли результат здравому смыслу.

1. Утром было −4 °C, к полудню температура повысилась на 7 °C. Какой она стала?
2. На счёте было 5 условных единиц. Списали 9 единиц, при этом допускается отрицательный остаток. Какой баланс получился?
3. Подводный аппарат был на отметке −12 м относительно поверхности и поднялся на 5 м. Какова новая отметка?
4. Температура была 3 °C и понизилась на 8 °C. Какое значение стало?

Решения: 1) −4 + 7 = 3 °C; 2) 5 − 9 = −4 условные единицы; 3) −12 + 5 = −7 м, то есть аппарат ближе к поверхности; 4) 3 − 8 = −5 °C. В третьей задаче число −7 больше −12, и это согласуется со словом «поднялся». Если получилось −17, направление изменения выбрано неверно.

Оговорка про отрицательный остаток во второй задаче нужна потому, что в обычной жизни банк может не разрешить списание сверх доступной суммы. Математическая модель должна быть согласована с условием, иначе вычисление верно, а история неправдоподобна.

Как заниматься с карточками

Не решайте все задания подряд на скорость с первого раза. Возьмите первую карточку, выполните четыре выражения, проверьте их и объясните ошибку, если она была. Потом переходите к вычитанию. Если сразу смешать все типы, можно запомнить случайную комбинацию знаков, не поняв правило.

Для тренировки в паре один ученик решает выражение и называет ход: «заменяю вычитание сложением противоположного». Другой проверяет только этот шаг, а затем итог. Поменяйтесь ролями. Такой способ выявляет ошибку раньше, чем длинный столбик вычислений закончится неправильным ответом.

Когда первые карточки даются уверенно, увеличьте сложность: замените целые числа десятичными, добавьте нуль или поменяйте порядок слагаемых. Например, из −6 + 2 получите −0,6 + 0,2 и объясните, почему знак ответа не изменился. Новые числа полезны только после того, как понятен смысл действия.

Проверочный список перед сдачей

В конце работы вернитесь к заданиям, где ответ показался неожиданным. Спросите, где примерно должен лежать результат на прямой. Сумма −8 + 3 не может быть положительной: движение на три единицы вправо от −8 не достигает нуля. Такая оценка помогает найти ошибку ещё до точного пересчёта.

• Я различил знак числа и знак действия.
• Каждое вычитание отрицательного числа заменил сложением положительного.
• При сложении разных знаков сравнил модули и выбрал знак большего по модулю слагаемого.
• При равных модулях записал нуль.
• Для нескольких действий соблюдал порядок слева направо.
• Проверил хотя бы спорные ответы движением на прямой или оценкой положения результата.

Самое короткое надёжное правило такое: вычитание превратите в сложение противоположного; затем считайте по знакам слагаемых. Если приходится угадывать, «какой минус исчезает», запишите дополнительную строку. Один ясный промежуточный шаг быстрее исправления неверного ответа.