Векторы на плоскости: сложение и разность на чертеже

Вектор изображают направленным отрезком. У него есть длина и направление, поэтому две одинаково длинные стрелки могут обозначать разные векторы. Для отрезка AB вектор AB направлен из A в B, а вектор BA — из B в A. Их длины равны, но направления противоположны.

В школьных задачах на плоскости обычно работают со свободными векторами: стрелку можно параллельно переносить без изменения вектора. Например, движение на три клетки вправо и две вверх остаётся тем же перемещением, где бы оно ни началось. Поворот стрелки или изменение её длины уже меняют вектор.

Длина, направление и равенство векторов

Равные ненулевые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Недостаточно совпадения только одного признака. Удобно представить два перемещения: «на четыре клетки вправо» и «на четыре клетки влево». Расстояние одинаково, но итоговые направления различаются.

На чертеже равенство проверяют по двум вопросам: параллельны ли стрелки и сонаправлены ли они, одинаковы ли их длины. Для противоположных векторов длины тоже одинаковы, но стрелки направлены в разные стороны вдоль параллельных прямых.

Нулевой вектор имеет длину 0: его начало и конец совпадают. Собственного направления у него нет. Поэтому рассуждения о сонаправленности и угле требуют отдельно учитывать этот случай, а формулы сложения и координат по-прежнему работают.

Чтобы избежать путаницы в обозначениях, пишите векторную стрелку над буквами в тетради. В текстовой записи здесь используются выражения «вектор AB», «вектор a» и «вектор b». Длина AB — число, а вектор AB — направленное перемещение; это разные объекты.

Правило треугольника для суммы

Пусть нужно построить a + b. Сначала рисуем a, затем от его конца откладываем равный b вектор. Сумма показывает общее перемещение за два последовательных шага.

1. Обозначьте начало первого вектора точкой O, конец — точкой A.
2. Из A проведите вектор AB, равный b: с той же длиной и направлением.
3. Соедините O с B и поставьте стрелку в сторону B.
4. Полученный вектор OB равен a + b.

Допустим, a ведёт на три клетки вправо, b — на две клетки вверх. После обоих перемещений мы окажемся на три клетки правее и на две выше начала. Сумма направлена к этой конечной точке по диагонали.

Путь состоит из двух участков длиной 3 и 2, но длина итогового вектора не равна 5. Его длина составляет √(3² + 2²) = √13 клеток. Сложение векторов объединяет перемещения; оно не означает автоматического сложения их длин.

Если поменять порядок действий, конечная точка останется той же: сначала две клетки вверх, затем три вправо. Поэтому a + b = b + a. На рисунке оба пути образуют соседние стороны одного параллелограмма.

Правило параллелограмма

Это правило удобно, когда оба исходных вектора уже выходят из одной точки O. Обозначим их концы A и B. Чтобы построить сумму, нужно достроить параллелограмм на этих двух сторонах.

Через A проводим прямую, параллельную OB, а через B — прямую, параллельную OA. Их пересечение обозначаем C. Диагональ OC, направленная из общего начала к противоположной вершине, равна сумме OA + OB.

Вторая диагональ AB не является суммой этих векторов. Она соединяет концы исходных стрелок и связана с разностью. Частая ошибка — правильно достроить фигуру, но выбрать любую диагональ без проверки её начала и конца.

Если векторы коллинеарны, обычный параллелограмм вырождается в отрезок. Можно воспользоваться правилом последовательных перемещений. Для двух сонаправленных стрелок итоговая длина равна сумме длин; для противоположно направленных — разности большей и меньшей длин. Направление результата в последнем случае совпадает с направлением более длинной стрелки, а при равных длинах получается нулевой вектор.

Как построить разность

Вычитание определяют через противоположный вектор: a − b = a + (−b). Вектор −b имеет ту же длину, что и b, но обратное направление. Поэтому правило треугольника можно использовать и для разности.

Если a и b приложены к общему началу O, обозначим их концы A и B. Тогда a − b = BA: стрелка идёт от конца вычитаемого b к концу уменьшаемого a. Проверить направление можно равенством OB + BA = OA.

Для a = «четыре клетки вправо» и b = «одна клетка вправо» разность ведёт на три клетки вправо. Для a = «четыре вправо», b = «две влево» разность ведёт на шесть вправо: вычесть движение влево означает прибавить противоположное движение вправо.

Порядок вычитания имеет значение. Векторы a − b и b − a противоположны, а не равны. На одном и том же рисунке первый направлен из B в A, второй — из A в B. Если нужно проверить результат, добавьте вычитаемый вектор: (a − b) + b должно дать a.

Координаты вектора по двум точкам

Для A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) координаты вектора AB равны (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Из координат конца вычитают координаты начала. Первая компонента показывает горизонтальное изменение, вторая — вертикальное.

Пусть A(−1; 2), B(3; 5). Тогда AB = (3 − (−1); 5 − 2) = (4; 3). Это перемещение на четыре единицы вправо и три вверх. Обратный вектор BA = (−4; −3): четыре влево и три вниз.

Точки C(0; −2) и D(4; 1) дают CD = (4; 3). Поэтому AB и CD равны, хотя расположены в разных частях плоскости. Координаты описывают изменение, а не абсолютное положение стрелки.

Длину вектора (u; v) находят по формуле √(u² + v²). Для (4; 3) она равна 5. Длина не бывает отрицательной: отрицательные координаты означают направление изменений, а не отрицательное расстояние.

Горизонтальное и вертикальное перемещения образуют катеты прямоугольного треугольника, поэтому формула длины следует из теоремы Пифагора. Если одна компонента равна нулю, стрелка лежит вдоль оси и её длина равна модулю другой компоненты.

Сложение и вычитание по координатам

Если a = (aₓ; aᵧ), b = (bₓ; bᵧ), то a + b = (aₓ + bₓ; aᵧ + bᵧ), а a − b = (aₓ − bₓ; aᵧ − bᵧ). Горизонтальные изменения объединяют отдельно от вертикальных.

Возьмём a = (3; 2), b = (−1; 4). Сумма равна (2; 6), разность — (4; −2). Эти два результата изображают разные стрелки: сумма ведёт вправо и вверх, разность — вправо и вниз.

Если сумма начинается в точке P(−2; 1), её конец Q получим прибавлением координат вектора: Q(−2 + 2; 1 + 6) = Q(0; 7). Сам вектор (2; 6) не меняется при другом выборе начальной точки; меняются координаты его начала и конца.

Цепочка векторов на чертеже

Для последовательных перемещений AB + BC = AC. Промежуточная точка B является концом первого и началом второго вектора, поэтому общее перемещение ведёт из A в C. Правило сохраняется для более длинной цепочки.

Например, AB + BC + CD = AD. Если путь замкнут, AB + BC + CA = 0. Это нулевой итог перемещения: после всех шагов вернулись в исходную точку. Длины отдельных участков при этом могут быть ненулевыми.

Не сокращайте буквы автоматически в любой записи. В сумме AB + CB точка B является концом обеих стрелок, а последовательной цепочки нет. Здесь нужно сначала перенести один из векторов или использовать координаты. Направление стрелок важнее внешнего совпадения букв.

Для разности удобно сначала обратить второй вектор. Например, AB − AC = AB + CA = CB. После перестановки слагаемых получаем цепочку CA + AB, которая ведёт из C в B. Этот вывод согласуется с правилом разности векторов из общего начала.

Самостоятельные задания

Выполняйте построения на клетчатой бумаге. Сначала подпишите начало и конец каждой стрелки, затем проверьте направление результата. В координатных заданиях показывайте вычисления обеих компонент.

1. Стрелки AB и CD сонаправлены и имеют длину 5. Можно ли назвать векторы равными? Что изменится при обратном направлении CD?
2. Постройте сумму перемещений «три клетки вправо» и «две вверх». Найдите длину результата.
3. a = (4; 1), b = (−2; 3). Найдите a + b и a − b.
4. A(−2; 1), B(3; −3). Найдите AB и BA.
5. Вектор a = (−3; 4) начинается в P(2; −1). Найдите координаты его конца.
6. Два вектора OA и OB выходят из O. В каком направлении нужно провести их разность OA − OB?
7. Выразите одним вектором AB + BC + CD.
8. Найдите AB + BC + CA. Объясните ответ через перемещение.
9. Выразите одним вектором AB − AC.
10. a = (5; −2), b = (5; −2). Найдите a − b и его длину.
11. Один вектор ведёт на 7 единиц вправо, другой — на 3 влево. Найдите сумму и разность первого и второго.
12. Для a = (2; −1), b = (−4; 3) ученик записал a − b = (−2; 2). Найдите ошибку и проверьте правильный ответ обратным действием.

Не сравнивайте длину суммы с суммой длин без учёта направлений. Задание 2 показывает, что итоговая стрелка может быть короче пройденного пути. Задания 8 и 10 дают нулевой результат двумя разными способами.

Ответы с объяснениями

Сначала сопоставьте направления на своих рисунках, затем числа. Одинаковая длина стрелки не исправляет неверно выбранный конец: противоположный вектор имеет ту же длину, но другой смысл.

1. Да, векторы равны. Одинаковы и длина, и направление. При обратном направлении CD векторы станут противоположными.
2. Вектор (3; 2), длина √13. От начала идём три клетки вправо и две вверх; соединяем начало и конечную точку. Длина пути 5, длина перемещения √13.
3. a + b = (2; 4), a − b = (6; −2). Во второй записи 4 − (−2) = 6, а 1 − 3 = −2.
4. AB = (5; −4), BA = (−5; 4). Для AB вычитаем координаты A из B: 3 − (−2), −3 − 1. Обратная стрелка меняет оба знака.
5. (−1; 3). Прибавляем вектор к началу: (2 − 3; −1 + 4). Не нужно вычитать координаты вектора из P.
6. Из B в A. Разность равна BA. Проверка: OB + BA = OA.
7. AD. Последовательные шаги ведут от первого начала A к последнему концу D.
8. Нулевой вектор. Путь A → B → C → A заканчивается там же, где начался.
9. CB. AB − AC = AB + CA = CA + AB = CB.
10. (0; 0), длина 0. При вычитании равного вектора обе компоненты обнуляются.
11. Сумма — 4 вправо; разность — 10 вправо. В координатах получаем 7 + (−3) = 4 и 7 − (−3) = 10.
12. Правильно (6; −4). Ученик сложил координаты вместо вычитания. Проверяем: (6; −4) + (−4; 3) = (2; −1), то есть исходный a.

Проверка готового чертежа

Перед окончательной записью ответа сопоставьте рисунок с координатами или цепочкой перемещений. Несколько коротких вопросов помогают обнаружить неверную стрелку без повторного построения.

• У каждой стрелки различимы начало и конец.
• При переносе вектор сохранил длину и направление.
• В правиле треугольника второй шаг начинается в конце первого.
• Сумма направлена от начала первого шага к конечной точке.
• Для разности из общего начала выбран путь от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.
• Координаты найдены как «конец минус начало».
• Длина вектора вычислена отдельно от его координат и не получила отрицательного знака.
• Обратная проверка (a − b) + b = a выполняется.

Хороший чертёж позволяет объяснить действие как перемещение. Сумма объединяет два шага, разность показывает, каким шагом дополнить вычитаемый вектор до уменьшаемого, а координаты записывают те же изменения числами. Если направление и компоненты согласованы, результат проверяется сразу двумя способами.